Question

Очень срочно!!! Дам 30 баллов

ABCD-прямоугольник. Биссектрисы углов А и В пере- секают стороны ВС и AD в точках М и N соответственно. Доказать, что ABMN - квадрат.

Сделайте решение с рисунком пожалуйста​

Answer 1

Ответ:

Доказано, ABMN - квадрат.

Объяснение:

ABCD - прямоугольник. Биссектрисы углов А и В пересекают стороны ВС и AD в точках М и N соответственно. Доказать, что ABMN - квадрат.

Дано: ABCD - прямоугольник.

АМ и BN - биссектрисы;

M ∈ BC; N ∈ AD.

Доказать: ABMN - квадрат

Доказательство:

Обозначим углы цифрами. (см. рис)

1. Рассмотрим ΔАВМ и ΔАВN - прямоугольные.

∠1 = ∠2 = 90° : 2 = 45° (АМ - биссектриса)

∠3 = ∠4 = 90° : 2 = 45° (BN - биссектриса)

⇒ ∠1 = ∠3 = 45°

AB - общая

ΔАВМ = ΔАВN (по катету и острому углу)

⇒ BM = AN; AM = BN (как соответственные элементы)

2. Рассмотрим ΔАВО.

∠ 1 = ∠3 = 45°

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠АОВ = 180° - 45° - 45° = 90°

⇒ BN ⊥ AM

3. Рассмотрим ABMN.

BM = AN (п.1); BM || AN (условие)

• Если в четырехугольнике две противоположных стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

⇒ ABMN - параллелограмм.

AM = BN (п.1)

• Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

⇒ ABMN - прямоугольник.

BN ⊥ AM (п.2)

• Если в прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то этот прямоугольник - квадрат.

⇒ ABMN - квадрат.

#SPJ1