Question

Решить систему логарифмического уравнения.
$\displaystyle \left. \begin{cases} { \log _8( x+y ) + \log_8 ( 7-y ) =1+ \log_85 } \\ {2^{ \log_2 ( x-y ) }=4 } \end{cases} \right.$

Answer 1

Ответ:

$(x_1;y_1)=(7;3) \\ (x_2;y_2)=(6;2)$

Объяснение:

$\left. \begin{cases} { \log _8( x+y ) + \log_8 ( 7-y ) =1+ \log_85 } \\ {2^{ \log_2 ( x-y ) }=4 } \end{cases} \right.$

Преобразуем отдельно оба уравнения.

Первое уравнение:

$\log _8( x+y ) + \log_8 ( 7-y ) =1+ \log_85$

Для левой части применим формулу $\log_abc = \log _ab + \log_ac$ , а в правой части заменим единицу по формуле $\log_aa=1$:

$\log_8(x+y)(7-y)=\log_88+\log_85$

Для правой части тоже применим формулу $\log_abc = \log _ab + \log_ac$:

$\log_8(x+y)(7-y)=\log_8{40}$

Равны основания логарифмов обеих частей уравнения , а значит , равны и их аргументы:

$(x + y)(7 - y) = 40$

Второе уравнение:

$2^{ \log_2 ( x-y ) }=4$

Представим 4 в виде степени , с основанием как и в левой части:

$2^{ \log_2 ( x-y ) }=2 {}^{2}$

Равны основания степеней обеих частей уравнения , а значит , равны и их показатели:

$\log_2 ( x-y ) =2$

Используем определение логарифма $\log_ab=c\Rightarrow a^c=b$:

$2 {}^{2} = x-y \\ x - y = 4$

Выполнив преобразования - пришли к такой системе:

$\left. \begin{cases} {(x+y)(7-y)=40 } \\ { x-y = 4 } \end{cases} \right.\left. \begin{cases} {7x - xy + 7y-y ^{2} =40 } \\ { x-y = 4 } \end{cases} \right.$

Решим методом подстановки.

Выразим из второго уравнения х :

$x - y = 4 \\ x = 4 + y$

Подставим в место х в первом уравнении:

$7(4 + y) - y(4 + y) + 7y - y {}^{2} = 40 \\ 28 + 7y - 4y - y {}^{2} + 7y - y {}^{2} - 40 = 0 \\ - 2y {}^{2} + 10y - 12 = 0|:(-2) \\ y {}^{2} - 5y + 6 = 0$

Решаем кв.уравнение через дискриминант:

$D=(-5)^2-4\cdot6=25-24=1 \\ y_{1,2}=\frac{5\pm1}{2} \\ \Rightarrow y_1=3~~~~~~~~y_2=2$

Теперь подставляем эти числа в место у во втором уравнении из системы и находим х:

$x - 3 = 4 \\ x_1 = 7 \\ \\ x - 2 = 4 \\ x_2 = 6$

Ответ: $(x_1;y_1)=(7;3) \\ (x_2;y_2)=(6;2)$