Question

Найти производную y=ln sin x arctg x

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf y'=ctg\;x\cdot arctg\;x+\frac{ln\;sin\;x}{1+x^2}$

Пошаговое объяснение:

Найти производную:

$\displaystyle \bf y=ln\;sin\;x\cdot arctgx$

Производная произведения

$\boxed {(uv)'=u'v+uv'}$

$\displaystyle \bf y'=(ln\;sin\;x)'\cdot arctg\;x+ln\;sin\;x\cdot (arctg\;x)'=$

Производная сложной функции:

$\boxed {(ln\;u)'=\frac{u'}{u} }$          

Производная арктангенса:

$\boxed {(arctg\;x)'=\frac{1}{1+x^2} }$

$\displaystyle \bf =\frac{(sin\;x)'}{sin\;x} \cdot arctg\;x+ln\;sin\;x\cdot \frac{1}{1+x^2} =$

$\boxed {(sin\;x)'=cos\;x }$

$\displaystyle \bf =\frac{cos\;x}{sin\;x} \cdot arctg\;x+ln\;sin\;x\cdot \frac{1}{1+x^2} =\\\\=ctg\;x\cdot arctg\;x+\frac{ln\;sin\;x}{1+x^2}$