Question

Продиференціювати задану функцію
1)$y=\frac{2}{x^{3} }+5\sqrt[5]{x^{2} } -2 arccos {x}$
2)$y=3^{sinx} (4x-3)$
3)$y=(tgx)^{x}$

Answer 1

Ответ:

1. $\displaystyle \bf y'=-\frac{6}{x^4}+\frac{2}{\sqrt[5]{x^3} } +\frac{2}{\sqrt{1-x^2} }$

2. $\bf y'=3^{sinx}(ln3\cdot cosx\cdot(4x-3)+4)$

3. $\displaystyle \bf y'=\left(ln(tg\;x)+\frac{x}{tg\;x\cdot cos^2x}\right)\cdot (tgx)^x$

Объяснение:

Продифференцировать заданную функцию:

$\displaystyle \bf 1. \;y=\frac{2}{x^3}+5\sqrt[5]{x^2}-2arccos\;x$

Преобразуем функцию:

$\displaystyle y=2x^{-3}+ 5x^{\frac{2}{5}}-2arccos\;x$

Производная степенной функции и арккосинуса:

$\boxed {\displaystyle \bf (x^n)'=nx^{n-1}}\;\;\;\;\;\boxed {\displaystyle \bf (arccos\;x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2} } }$

$\displaystyle y'=2\cdot(-3x^{-3-1})+5\cdot \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1 } -2\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-x^2} } =\\\\=-6x^{-4}+2x^{-\frac{3}{5} }+\frac{2}{\sqrt{1-x^2} } =\\\\=-\frac{6}{x^4}+\frac{2}{\sqrt[5]{x^3} } +\frac{2}{\sqrt{1-x^2} }$

$\displaystyle \bf 2.\; y=3^{sinx}(4x-3)$

Производная произведения:

$\boxed {\displaystyle \bf (uv)'=u'v+uv'}$

Производная сложной показательной функции:

$\boxed {\displaystyle \bf (a^u)'=a^u\cdot lna\cdot u'}$

$\displaystyle y'=(3^{sinx})'\cdot(4x-3)+3^{sinx}\cdot(4x-3)'=\\\\=3^{sinx}ln3\cdot(sinx)'(4x-3)+3^{sinx}\cdot4=\\\\=3^{sinx}(ln3\cdot cosx\cdot(4x-3)+4)$

$\bf 3.\;y=(tgx)^x$

Прологарифмируем:

$\displaystyle lny=ln(tgx)^x\\\\lny=x\cdot ln(tgx)$

Так как у - функция от х, то lny - сложная функция от х.

Используем формулы:

$\boxed {\displaystyle \bf (ln\;u)'=\frac{u'}{u} }}\;\;\;\;\;\boxed {\displaystyle \bf (tg\;x)'=\frac{1}{cos^2x } }$

$\displaystyle \frac{y'}{y} =1\cdot ln(tg\;x)+x\cdot \frac{(tg\;x)'}{tg\;x} \\\\\frac{y'}{y} =ln(tg\;x)+\frac{x}{tg\;x\cdot cos^2x}\\ \\y'=\left(ln(tg\;x)+\frac{x}{tg\;x\cdot cos^2x}\right)\cdot y\\\\y'=\left(ln(tg\;x)+\frac{x}{tg\;x\cdot cos^2x}\right)\cdot (tgx)^x$

#SPJ1