Question

Решите 2 примеры. С подробным решением и покажите откуда взяты промежутки. Не используйте photomath буду банить!

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

E:

$\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}\le1$

Умножая неравенство на сопряженное, получаем:

$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}\ge3$

Здесь важно отметить, что наш множитель положителен, поэтому знак неравенства был сохранен.

Рассмотрим монотонную функцию $f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}$, определенную при x$\ge$2.

Она будет возрастающей, как сумма возрастающих функций и => может принимать значение 3 не более, чем в одной точке, которая легко угадывается и является $x_0=3$. После этой точки (x>3) все значения функции больше 3, так как мы показали, что она возрастающая. До этой точки, то есть на отрезке [2; 3], значения функции соответственно меньше трех.

Тогда несложно заметить, что решение неравенства имеет вид $x \ge 3$, то есть $x\in[3;\;+\infty)$.

C:

$\sqrt{x^2-x-12} < x$

Несложно увидеть, что если $x$ отрицательный, неравенство не имеет решений. Действительно, слева у нас корень, который дает неотрицательное значение. А оно никак не может быть меньше отрицательного. Более того, если $x=0$, то лучшее, что могло бы произойти - это $0 < 0$, что тоже неверно. Если же $x$ положительный, то тогда возведение в квадрат обеих частей неравенства даст равносильное неравенство при условии, что мы учтем ОДЗ корня.

Откуда замечаем, что в общем случае верно:

$\sqrt{f(x)} < g(x)\; \Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{c}f(x) < g(x)^2\\f(x)\ge0\\g(x) > 0\end{array}\right;$

Ну и для нашего случая:

$\left\{\begin{array}{c}x+12 > 0\\x^2-x-12\ge0\\x > 0\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}(x+3)(x-4)\ge0\\x > 0\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\;x\ge4$

Задание выполнено!