Question

Обчисліть площу фігури,обмеженої лініями: y=x^2-2x+2, y=2+4x-x^2

Answer 1

y = x² - 2 x + 2 – черная парабола, ветви вверх, вершина (1;1).

у = 2 + 4х - х² – зеленая парабола, ветви вниз, вершина (2;6).

Найдем точки пересечения:

2 + 4х - х² = х² - 2х + 2

4х - х² = х² - 2х

6х - 2х² = 0

х(6-2х) = 0

х = 0 или 6-2х = 0; -2х = -6 ⇒ х = 3

Площадь криволинейной трапеции найдем с помощью определенного интеграла, в пределах от 0 до 3, т.е. фигуру, с красным оттенком.

• $\displaystyle S= \int\limits^3_0 { (6x - 2 {x}^{2} )} \, dx = \boldsymbol{3 {x}^{2} - \frac{ {2x}^{3} }{3} \bigg |^3_0 = 3 \,*\, {3}^{2} - \frac{ 2 \,*\,{3}^{3} }{ 3} - 0 =27 - 18 = 9e {d}^{2} }$

Ответ: S = 9eд²