Question

Найти значение выражения, записать результат в алгебраической форме.

Answer 1

Ответ:

$z \cdot \bigg ( \dfrac{\overline w}{t} \bigg)^6 = - 2i - 2$

Объяснение:
Найти значение выражения  $z \cdot \bigg ( \dfrac{\overline w}{t} \bigg)^6$  , записать результат в алгебраической форме.

Комплексно-сопряженные числа

$\boldsymbol{* ~~z = x + yi ~ ~~ u ~~~ \overline z = x - yi}$

$w = \sqrt{6} (\cos 125 + i\sin 125) = \sqrt{6 }(-\cos 55 + i \sin 55) \Rightarrow \\\\\overline w = \sqrt{6}( -\cos 55 - i\sin 55 )$

Доведем  данное сопряженное число до  тригонометрической формы , воспользовавшись тем  что и  синус ,  и косинус отрицательны в  III четверти

Таким образом :

$\overline w = \sqrt{6}( -\cos 55 - i\sin 55 ) = \sqrt{6}\big(\cos (180 +55)+ i \sin (180 +55) \big) = \\\\\\ =\sqrt{6 } (\cos 235 + i \sin 235 )$

Теперь перейдем к расчетам

$\star~\dfrac{11}{9}\pi = 220^\circ ~ \star$

$\displaystyle z \cdot \bigg ( \dfrac{\overline w}{t} \bigg)^6 = \frac{-1+ i}{4 } \cdot \left (\frac{\sqrt{6} \big ( \cos 235+ i \sin 235 \big )}{\sqrt{3} \big ( \cos 220 + i \sin 220\big ) } \right )^6$
Упростим  страшную  дробью

Для деления чисел в тригонометрической форме справедлива формула :

z₁ = r(cos φ₁ + i sin φ₁)

z₂ = r(cos φ₂ + i sin φ₂)

$\boldsymbol{* ~\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \Big(\cos (\varphi_1 - \varphi _2 )+ i \sin (\varphi _1 - \varphi _2)\Big )}$

$\displaystyle \left (\frac{\sqrt{6} \big ( \cos 235+ i \sin \235 \big )}{\sqrt{3} \big ( \cos 220 + i \sin 220\big ) } \right )= \bigg ( \frac{\sqrt{6} }{\sqrt{3} } \cdot \Big ( \cos (235- 220)+ i \sin (235 - 220)\bigg ) = \\\\\\ =\sqrt{2}\cdot ( \cos 15 + i \sin 15 )$

Возводим  ее в 6 степень , с помощью формулы Муавра $\boldsymbol{z^n = \big ( r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \big )^n = r^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi )~ , ~ n \in \mathbb N}$

$\displaystyle \Big (\sqrt{2}\cdot ( \cos 15 + i \sin 15 )\Big ) ^6 =8 \cdot (\cos 90 + i \sin 90) = 8 ( 0 + i \cdot 1) = 8 i$

Остается только выполнить  умножение :

$\displaystyle z \cdot \bigg ( \dfrac{\overline w}{t} \bigg)^6 = \frac{-1+ i}{4 } \cdot \left (\frac{\sqrt{6} \big ( \cos 235+ i \sin 235 \big )}{\sqrt{3} \big ( \cos 220 + i \sin 220\big ) } \right )^6=\frac{-1 + i }{4} \cdot 8 i = \\\\\\= (-1 + i) \cdot 2 i = - 2i + 2i^2 = -2i - 2$

#SPJ1