Найти:
а) точку пересечения прямой и площины
б) угол между прямой и площиной
в) точку, симетричную точке P относительно заданой площины
Ответы
Найти:а) точку пересечения прямой и площины.
Уравнение прямой преобразуем в параметрическое.
x = 2t + 2,
y = -t + 2,
z = 3t + 4.
Подставим в уравнение плоскости.
2t + 2 + 3(-t + 2) + 5(3t + 4) – 42 = 0.
14t = 14,
t = 14/14 = 1.
Отсюда получаем точку пересечения:
x = 2*1 + 2 = 4,
y = -1 + 2 = 1,
z = 3*1 + 4 = 7.
Точка (4; 1; 7).
б) угол между прямой и площиной.
Угол между прямой (x – 2)/2 = (y – 2)/(-1) = (z – 4)/3 и плоскостью x + 3y+ 5z – 42 = 0.
Направляющий вектор прямой имеет вид:
s
= { 2 ; -1 ; 3 }
Вектор нормали плоскости имеет вид:
q
= { 1 ; 3 ; 5 }
sin φ=
| A · l + B · m + C ·n | =
√(A² + B² + C²) ·√(l² +m² + n²)
= | 1 · 2 + 3 · (-1) + 5 · 3 |
√(1² + 3² + 5²) · √(2² + (-1)² + 3²) =
= | 2 - 3 + 15 |
√(1 + 9 + 25) · √(4 + 1 +9)
= 14/(√35*√14) = 14/(√5*7)*√(2/7) = 2/√10 = √10/5.
Отсюда угол равен arcsin(√10/5) = 39,2315 градуса.
в) точку, симетричную точке P(-2; -4; -6) относительно заданой площины.
Так как вектор нормали плоскости имеет вид: (1; 3; 5), то составляем уравнение этой нормали, проходящей через точку Р:
(x + 2)/1 = (y + 4)/3 = (z + 6)/5.
Находим точку пересечения этой прямой и заданной плоскости.
Уравнение прямой преобразуем в параметрическое.
x = t - 2,
y = 3t - 4,
z = 5t - 6.
Подставим в уравнение плоскости x + 3y+ 5z – 42 = 0.
t - 2 + 3(3t - 4) + 5(5t - 6) – 42 = 0.
35t = 86,
t = 86/35.
Отсюда получаем точку K пересечения:
x = (86/35) - 2 = 16/35,
y = 3*(86/35) - 4 = 118/35,
z = 5*(86/35) - 6 = 220/35.
Точка K((16/35); (118/35); (220/35)).
Теперь найдём точку Р1, симметричную точке Р относительно точки К.
x(P1) = 2*(16/35) – (-2) = (32 + 70)/35 = 102/35.
y(P1) = 2*(118/35) – (-4) = (236 + 140)/35 = 376/35.
z(P1) = 2*(220/35) – (-6) = (440 + 210)/35 = 650/35 = 130/7.