Question

ДАЮ 100 балів ДОПОМОЖІТЬ БУДЬЛАСКА!!!
Скласти рівняння кола, яке проходить через точки А(2;0) i B(-2;6), якщо АВ - діаметр кола.

Answer 1

Нужно составить уравнение окружности, проходящей через точки $A(2;0)$ и $B(-2;6),$ если $AB$ является диаметром окружности. Решение. Схематически строим окружность и соответствующие элементы, см. фото. Поскольку по условию задачи $AB$ является диаметром окружности, значит точка $O(x_0;y_0)$ - центр окружности и середина отрезка $AB.$ Найдем координаты середины отрезка, используя соответствующие формулы: $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2} ;~y_0=\dfrac{y_1+y_2}{2} .$ Подставляем  значения наших координат и вычисляем: $\displaystyle x_0=\frac{2+(-2)}{2} =\frac{2-2}{2} =\frac{0}{2} =0;~y_0=\frac{0+6}{2} =\frac{6}{2} =3.$ Следовательно, точка $O$ имеет координаты $(0;3).$ Запишем общий вид уравнения окружности: $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,$ где $(a;b)$ - центр окружности, $R$ - радиус. Итак, мы уже имеем координаты центра окружности, запишем уравнение, используя данные, которые сейчас имеем: $(x-0)^2+(y-3)^2=R^2.$ Осталось найти радиус. Воспользуемся тем, что окружность проходит через точку $A(2;0).$ Подставим координаты данной точки в уравнение окружности: $(2-0)^2+(0-3)^2=R^2\Rightarrow R^2=4+9\Rightarrow R^2=13.$ Тогда уравнение окружности имеет вид $\boxed{(x-0)^2+(y-3)^2=13}$ или же это $\boxed{x^2+(y-3)^2=13} .$ - это ответ. Задание решено.

P.S. Найти радиус еще можно было и другим способом. Поскольку известны координаты точки $O(0;3)$ и точки $B(-2;6),$ можно было найти длину отрезка $OB,$ который и является радиусом этой окружности: $OB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(-2-0)^2+(3-6)^2} =\sqrt{4+9} =\sqrt{13} ,$ значит $OB^2=R^2=(\sqrt{13} )^2=13.$ Радиус был найден верно.