Question

31 декабря 2016 года Сергей взял в банке 4037880 рублей в кредит под 30% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Сергей переводит в банк платёж, составляющий целое число рублей. Весь долг Сергей выплатил тремя равными платежами. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг двумя равными платежами

Answer 1

Обозначим:

$S=4\ 037\ 880$ (руб) - сумма, взятая в банке в кредит

$P_3$ (руб) - сумма каждого платежа, при оплате тремя равными платежами

$P_2$ (руб) - сумма каждого платежа, при оплате двумя равными платежами

Рассмотрим, что происходит, если кредит планируется выплатить тремя равными платежами.

Изначально $S$ рублей взято в кредит.

Через год банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга. Так как кредит взят под 30 % годовых, то долг будет составлять $1.3S$ рублей.

После этого выполняется первый платеж на $P_3$ рублей. Таким образом, долг становится равен $1.3S-P_3$ рублей.

Через два года банк вновь начисляет проценты на оставшуюся сумму долга. Долг становится равен $1.3(1.3S-P_3)$ рублей.

После этого выполняется второй платеж. Долг становится равен $1.3(1.3S-P_3)-P_3$ рублей.

Через три года банк снова начисляет проценты на оставшуюся сумму долга. Долг становится равен $1.3(1.3(1.3S-P_3)-P_3)$ рублей.

После этого выполняется третий платеж. С одной стороны, долг становится равен $1.3(1.3(1.3S-P_3)-P_3)-P_3$ рублей, а с другой стороны, поскольку это был последний платеж, то после этого платежа долг банку должен быть полностью погашен. То есть, долг стал равен 0. Приравняем две величины:

$1.3(1.3(1.3S-P_3)-P_3)-P_3=0$

Упрощаем выражение в левой части:

$1.3(1.69S-1.3P_3-P_3)-P_3=0$

$2.197S-1.69P_3-1.3P_3-P_3=0$

$2.197S-3.99P_3=0$

$P_3=\dfrac{2.197S}{3.99}$

Подставим значение взятой в кредит суммы из условия:

$P_3=\dfrac{2.197\cdot 4\ 037\ 880}{3.99} =2\ 223\ 364$

Мы нашли сумму одного платежа, но поскольку платежей было три, то всего банку было выплачено:

$S_3=3P_3=3\cdot 2\ 223\ 364=6\ 670\ 092$

По аналогии рассмотрим, что произойдет, если кредит планируется выплатить двумя равными платежами.

По-прежнему, взято в кредит $S$ рублей.

Через год банк начислит проценты на оставшуюся сумму долга, значит долг будет составлять $1.3S$ рублей.

После этого выполняется первый платеж на $P_2$ рублей. Таким образом, долг становится равен $1.3S-P_2$ рублей.

Через два года банк вновь начисляет проценты на оставшуюся сумму долга. Долг становится равен $1.3(1.3S-P_2)$ рублей.

После этого выполняется второй платеж. Долг становится равен $1.3(1.3S-P_2)-P_2$ рублей. Поскольку это заключительный платеж, то сумма долга после него равна 0. Составляем уравнение:

$1.3(1.3S-P_2)-P_2=0$

$1.69S-1.3P_2-P_2=0$

$1.69S-2.3P_2=0$

$P_2=\dfrac{1.69S}{2.3}$

$P_2=\dfrac{1.69\cdot 4\ 037\ 880}{2.3} =2\ 966\ 964$

Поскольку платежей в этом случае было два, то всего банку было выплачено:

$S_2=2P_2=2\cdot 2\ 966\ 964=5\ 933\ 928$

Находим разницу между выплаченной суммой в случае трех платежей и выплаченной суммой в случае двух платежей:

$S_3-S_2=6\ 670\ 092-5\ 933\ 928=736\ 164$

Ответ: на 736 164 рубля