Question

Решить уравнение с помощью замены
переменной:
$4 {x}^{2} + 12x + \frac{12}{x} + \frac{4}{ {x}^{2} } = 47$

​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{1}{2};\;2;\;\frac{-11+\sqrt{105} }{4} ;\;\frac{-11-\sqrt{105} }{4}$

Объяснение:

Решить уравнение с помощью замены переменной:

$\displaystyle 4x^2+12x+\frac{12}{x} +\frac{4}{x^2}=47$

ОДЗ: х ≠ 0

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

$\displaystyle \left(4x^2+\frac{4}{x^2}\right)+\left(12x+\frac{12}{x} \right)=47 \\\\\\ 4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+12\left(x+\frac{1}{x} \right)=47$

В первой скобке выделим полный квадрат:

$\displaystyle 4\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+12\left(x+\frac{1}{x} \right)=47\\\\\\ 4\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x} +\frac{1}{x^2}-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}\right)+12\left(x+\frac{1}{x} \right)=47 \\ \\ \\ 4\left(\left(x+ \frac{1}{x} \right)^2-2\right)+12\left(x+\frac{1}{x} \right)=47 \\\\\\ 4\left(x+ \frac{1}{x} \right)^2-8+12\left(x+\frac{1}{x} \right)=47 \\\\\\ 4\left(x+ \frac{1}{x} \right)^2+12\left(x+\frac{1}{x} \right)-55=0$

Замена переменной:

$\displaystyle x+\frac{1}{x}=t$

Получим квадратное уравнение:

$\displaystyle 4t^2+12t-55=0\\\\D=144+880 = 1024;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=32\\ \\t_1=\frac{-12+32}{8}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2} ;\;\;\;\;\; t_2=\frac{-12-32}{8}=-\frac{44}{8}=-\frac{11}{2}$

Обратная замена:

$\displaystyle 1)\;\;x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2} \\\\\\\frac{2x^2+2-5x}{2x} =0\\\\2x^2-5x+2=0\\\\D=25-16=9;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=3\\ \\x_1=\frac{5+3}{4}=2;\;\;\;\;\;x_2=\frac{5-3}{4} =\frac{1}{2}$

$\displaystyle 1)\;\;x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{2} \\\\\\\frac{2x^2+2+11x}{2x} =0\\\\2x^2+11x+2=0\\\\D=121-16=9;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=\sqrt{105} \\ \\x_1=\frac{-11+\sqrt{105} }{4};\;\;\;\;\;x_2=\frac{-11-\sqrt{105} }{4}$

Ответ: $\displaystyle \frac{1}{2};\;2;\;\frac{-11+\sqrt{105} }{4} ;\;\frac{-11-\sqrt{105} }{4}$