Question

решите иррациональное уравнение
ответ (-1:0) покажите решение

Answer 1

Ответ:

Корни иррационального уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{x \in \bigg \{0;2 \bigg \}}}$

Пошаговое объяснение:

$x(\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 -x} ) = x$

ОДЗ:

$\displaystyle \left \{ {{x + 2\geq 0} \atop {3 - x \geq 0}} \right \left \{ {{x \geq -2} \atop {3 \geq x}} \right \Longrightarrow \boxed{ x \in [-2;3] }$

$x(\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 -x} ) - x = 0$

$x(\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 -x} - 1) = 0$

$x = 0$ или $\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 -x} - 1 =0$

$\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 -x} = 1$

$(\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 -x})^{2} = 1^{2}$

$x + 2 + 3 - x - 2\sqrt{(x + 2)(3 - x)} = 1$

$2\sqrt{(x + 2)(3 - x)} = 4|:2$

$\sqrt{(x + 2)(3 - x)} = 2$

$(\sqrt{(x + 2)(3 - x)})^{2} = 2^{2}$

$(x + 2)(3 - x) = 4$

$3x - x^{2} + 6 - 2x = 4$

$- x^{2} + x + 6= 4$

$x^{2} - x -2 = 0$

$D = 1 - 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^{2}$

$\boxed{x_{1} = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = 2}$

$x_{2} = \dfrac{1 - 3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$

Проверка корней:

$x = -1:$

$-1(\sqrt{-1 + 2} - \sqrt{3 - (-1)} ) = -1$

$-1(\sqrt{1} - \sqrt{4} ) = -1$

$-1(1 - 2 ) = -1$

$-1 \cdot (-1) = -1$

$1 \neq -1 \Longrightarrow x =-1$ - не является решением уравнения

$x = 0:$

$0(\sqrt{0 + 2} - \sqrt{3 -0} ) = 0$

$0 = 0$

$x = 2:$

$2(\sqrt{2 + 2} - \sqrt{3 -2} ) = 2$

$2(\sqrt{4} - \sqrt{1} ) = 2$

$2(2 - 1) = 2$

$2 \cdot 1 = 2$

$2 = 2$