На рисунку зображено правильний тетраедр SABC. K належить SA; p належить SB, причому SK : KA = BP : PS = 1:2. Побудуйте переріз KPC тетраедра і знайдіть його висоту, проведену до основи KP, якщо всі ребра тетраедра дорівнюють 24 см
Ответы
Ответ:
Сечение КРС построено в приложении. Искомая высота сечения, проведенная к стороне КР:
h = 20 cм.
Объяснение:
Тетраэдр правильный, следовательно все его грани - правильные треугольники.
Так как SK:KA = BP:PS = 1:2, а AS = SB = 24см, то АК = SP = 24·(2/3) = 16cм, а KS = BP = 24/3 = 8 см.
В треугольнике АКС ∠А = 60°, АК = 16 см, АС = 24 см. Тогда по теореме косинусов:
КС = √(16²+24²-2·16·24·Cos60) = √(16²+24²-2·16·24·1/2) = √448 = 8√7 cм.
Аналогично, В треугольнике РSС ∠S = 60°, SP = 16 см, SС = 24 см.
По теореме косинусов:PС = √(16²+24²-2·16·24·Cos60) = 8√7 cм.
В треугольнике КSP ∠S = 60°, PS = 16 см, SK = 8 см. Тогда по теореме косинусов:
КP = √(16²+8²-2·16·8·Cos60) = √(16²+8²-2·16·8·1/2) = √192 = 8√3 cм.
В треугольнике КРС полупериметр равен
р = (КС+РС+КР):2 = (16√7+8√3)/2 =(8√7+4√3).
По теореме Герона площадь треугольника КРС равна:
Skpc = √(р·(р-КС)·(р-РС)·(р-КР)).
Подставив найденные значения, получим:
Skpc = √((8√7+4√3)·4√3·4√3·(8√7+4√3)) = √(48·400) = 80√3.
Skpc = (1/2)·KP·h, где h - искомая высота. Тогда
h = 2·S/KP = 160√3/8√3 = 20 см.
Можно проще.
Треугольник КРС равнобедренный и его высота, проведенная к основанию КР, является и медианой. Тогда по Пифагору:
h = √(KS²- (KP/2)²) = √(448 - 48) = √400 = 20 см.
