Question

Докажите, что значение выражения 8n^6+11n^4-n^2 при любом целом n делится на 9.

Пожалуйста, с подробным объяснением и без скопированного ответа на этот вопрос со знаний ранее

Answer 1

Ответ:

1) Прибавим и отнимем n⁶ и 9n⁴ тоже отделим

8n^6+11n^4-n^2=(9n⁶+9n⁴)-(n⁶-2n⁴+n²)

Первые скобки (9n⁶+9n⁴) точно делятся на 9 и дальше их даже не рассматриваем. Нам осталось доказать что n⁶-2n⁴+n² делится на 9.

2) n⁶-2n⁴+n²=n²(n⁴-2n²+1)=n²(n²-1)²=n²((n-1)(n+1))²=(n-1)²n²(n+1)²

А дальше все легко. Это последовательные 3 числа, каждое из которых в квадрате. Какое-то из 3-х последовательных чисел, да делится на 3. Например: 1,2,3;   2,3,4; 3,4,5 и т.д.

Т.е. какой-то из множителей, которые еще и в квадрате обязательно делится на 3, а значит его квадрат делится на 9.

ЧТД.

Пошаговое объяснение: