Question

Докажите, что значение выражения 8n^6+11n^4-n^2 при любом целом n делится на 9.

Answer 1

$8n^6+11n^4-n^2$

Первые два слагаемых представим в виде суммы так, чтобы одно из слагаемых в каждом случае содержало множитель 9:

$\underline{8n^6}+\underline{\underline{11n^4}}-n^2=\underline{9n^6-n^6}+\underline{\underline{9n^4+2n^4}}-n^2\ \boxed{=}$

Перегруппируем слагаемые и вынесем за скобки общий множитель:

$\boxed{=}\ (9n^6+9n^4)-(n^6-2n^4+n^2)=9(n^6+n^4)-n^2(n^4-2n^2+1)\ \boxed{=}$

Заметим, что во вторых скобках записан полный квадрат:

$\boxed{=}\ 9(n^6+n^4)-n^2(n^2-1)^2=9(n^6+n^4)-\big(n\cdot(n^2-1)\big)^2=$

$=9(n^6+n^4)-\big(n\cdot(n-1)(n+1)\big)^2=9(n^6+n^4)-\big((n-1)\cdot n\cdot(n+1)\big)^2$

Рассмотрим получившуюся разность (она же сумма в алгебраическом смысле).

Первое слагаемое $9(n^6+n^4)$ делится на 9, так как оно содержит множитель 9.

Под знаком квадрата во втором слагаемом записано выражение $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$, представляющее собой произведение трех подряд идущих целых чисел. Среди трех подряд идущих целых чисел одно делится на 3, значит выражение $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ делится на 3. Тогда, квадрат такого выражения $\big((n-1)\cdot n\cdot(n+1)\big)^2$ делится на $3^2$, то есть на 9.

Таким образом, оба слагаемых в выражении делятся на 9, значит и все выражение делится на 9. Доказано.