Question

общее решение диференциального уравнения y"+y'-12y=6cos2x​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$y''+y'-12y=6\cos(2x)$

Составим характеристическое уравнение:

(порядок производной переходит в степень лямбды)

$\lambda^2+\lambda-12=0\\\lambda^2-3\lambda+4\lambda-12=0\\\lambda(\lambda-3)+4(\lambda-3)=0\\(\lambda-3)(\lambda+4)=0$

$\left[\begin{array}{c}\lambda_1=3\\\lambda_2=-4\end{array}\right;$

Оба корня получились действительные с кратностью 1 каждый. Тогда напишем решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

$y_{oo}=C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}$

Правая часть исходного уравнения специального вида:

$...=P_n(x)e^{\alpha x}\left[\begin{array}{c}\sin\beta x\\\cos\beta x\end{array}\right$

Тогда получаем, что $\alpha=0$ и $\beta=2$

(правая часть нашего уравнения представляется как $6e^{0}\cos2x$).

И мы можем утверждать, что некоторое частное решение неоднородного уравнения представимо в виде:

$y_{_{HO}}=x^{S}e^{\alpha x}\left(A\sin\beta x+B\cos\beta x\right)$

В данной записи $S$ - это кратность корня $\lambda=\alpha x+i\beta$.

То есть для нашего случая $\lambda=2i$.

Поскольку при решении характеристического уравнения у нас соответствующая лямбда не получилась, то $S=0$.

А значит $y_{_{HO}}=A\sin2x+B\cos2x$.

Найдем теперь первую и вторую производные:

$y_{_{HO}}'=2A\cos2x-2B\sin2x\\y_{_{HO}}''=-4A\sin2x-4B\cos2x$

И выполним подстановку в исходное уравнение, чтобы определить $A$ и $B$:

$-4A\sin2x-4B\cos2x+2A\cos2x-2B\sin2x-12A\sin2x-12B\cos2x=6\cos2x\\\sin2x\left(-4A-2B-12A\right)+\cos2x\left(-4B+2A-12B\right)=6\cos2x\\\sin2x\left(-16A-2B\right)+\cos2x\left(-16B+2A\right)=6\cos2x$

Теперь переходим к системе:

$\left\{\begin{array}{c}-16A-2B=0\\-16B+2A=6\end{array}\right,\;\;\;\;\left\{\begin{array}{c}A=\dfrac{3}{65}\\\\B=-\dfrac{24}{65}\end{array}\right;$

Итого искомое частное решение неоднородного дифференциального уравнения:

$y_{_{HO}}=\dfrac{3}{65}\sin2x-\dfrac{24}{65}\cos2x$

А значит получили ответ:

$y=C_1e^{3x}+C_2e^{-4x}+\dfrac{3}{65}\sin2x-\dfrac{24}{65}\cos2x$

Уравнение решено!