доведіть що при будь якому значенні зміннох даний вираз x^2+12x+40 набуває тільки додатних значент. якого найменшого значення і при якому значенні x набуває цей вираз?
Ответы
Даний вираз є поліномом третього ступеня, тому має три корені. Для того, щоб визначити, чи набуває вираз тільки додатні значення, необхідно визначити знак його дискримінанту. Дискримінант виразу x^2 + 12x + 40 має вигляд:
D = b^2 - 4ac
= 12^2 - 4140
= 144 - 160
= -16
Оскільки дискримінант менше нуля, то вираз не має дійсних коренів, тобто всі його значення є додатні.
Найменше значення, яке набуває вираз, може бути отримане за допомогою використання квадратного зведення:
x^2 + 12x + 40 = (x + a)^2 + b
Для того, щоб отримати вираз у вигляді (x + a)^2 + b, потрібно знайти значення змінних a і b таким чином, щоб при відповідному підставленні їх у рівняння (x + a)^2 + b = x^2 + 12x + 40 відбувалося рівність. Розв'язуючи це рівняння, можна отримати такі результати:
(x + a)^2 + b = x^2 + 12x + 40
(x + a)^2 = x^2 + 12x + 40 - b
x^2 + 2ax + a^2 = x^2 + 12x + 40 - b
2ax + a^2 - 12x = 40 - b
2ax - 12x = 40 - b - a^2
x(2a - 12) = 40 - b - a^2
x = (40 - b - a^2) / (2a - 12)
Замінюючи у рівнянні x^2 + 12x + 40 = (x + a)^2 + b знайдене значення x, можна отримати рівняння для знаходження значень a і b:
(x + a)^2 + b = (40 - b - a^2) / (2a - 12)^2 + 12(40 - b - a^2) / (2a - 12) + 40
(x + a)^2 + b = (1600 - 20b - 20a^2 + 480a - 144) / (2a - 12)^2
(x + a)^2 + b = (1600 - 20b - 20a^2 + 480a - 144) / ((2a - 12)(2a - 12))
Зрівнюючи це рівняння з (x + a)^2 + b = x^2 + 12x + 40, можна отримати систему рівнянь:
(x + a)^2 + b = (1600 - 20b - 20a^2 + 480a - 144) / ((2a - 12)(2a - 12))
x^2 + 12x + 40 = (1600 - 20b - 20a^2 + 480a - 144) / ((2a - 12)(2a - 12))
Розв'язуючи цю систему, можна отримати значення a і b:
a = 4
b = 36
Таким чином, можна записати вираз у вигляді (x + 4)^2 + 36:
x^2 + 12x + 40 = (x + 4)^2 + 36
Цей вираз набуває тільки додатні значення, тому найменше значення, яке він може набути, рівне 36. Це значення набуває вираз при будь-якому значенні x.
Для того, щоб отримати найменше значення виразу, можна використати наступну формулу:
f(x) = a(x - x1)(x - x2)(x - x3)
Де a - коефіцієнт перед степенем третього ступеня, x1, x2, x3 - корені виразу.
Для виразу x^2 + 12x + 40 коефіцієнт a рівний 1, так як він не записується у виразі. Корені виразу рівні -4, -4, -4, тому:
f(x) = (x + 4)^2 + 36
Найменше значення, яке набуває вираз, рівне 36. Це значення набуває вираз при будь-якому значенні x.