Question

2.73. Даны катеты а и b прямоугольного треугольника. Найдите гипо- тенузу и углы треугольника. 1) а = 4 см, b = 3 см; 2) а = 12 см, b = 5 см; 3) a = b = 3/2 см.​

Answer 1

Пусть a,b это катеты. c это гипотенуза, α,β и $\gamma$ это углы треугольника (см. рисунок).

Необходимо найти гипотенузу c и углы α, β и $\gamma$.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е. гипотенуза:

$c = \sqrt{a^2+b^2}$

Так как треугольник прямоугольный, то угол $\gamma$ во всех случаях равен 90.

$\gamma=90$

Также, в прямоугольном треугольнике, тангенс угла α равен отношению противолежащего к нему катета к прилежащему, то есть:

$tg(\alpha ) = \frac{a}{b}$

А последний угол β можно найти как:

$\beta = 90 - \alpha$

Используем эти формулы для всех вариантов:

1)

$c = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{25} = 5\\tg\alpha =\frac{4}{3}, \\\alpha = 53\\\beta = 90 - 53 = 37$

Ответ: гипотенуза: 5, углы: 90, 53 и 37

2)

$c = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{169} = 13\\tg\alpha =\frac{12}{5}, \\\alpha = 67\\\beta = 90 - 67 = 23$

Ответ: гипотенуза: 13, углы: 90, 67 и 23

3)

$c = \sqrt{\frac{3}{2}^2+\frac{3}{2}^2} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\\tg\alpha =\frac{3}{2}*\frac{2}{3} = 1, \\\alpha = 45\\\beta = 90 - 45 = 45$

Ответ: гипотенуза: $\frac{3\sqrt{2}}{2}$, углы: 90, 45 и 45

Примечание: значения всех углов, полученных из тангенса округлены до целых.