Question

x^2+12y=-68

y^2-4x=28

Пожалуйста, помогите вот эту систему решить...

Answer 1

$begin{cases} x^2 + 12y= -6</var><var>8\y^2 - 4x = 28end{cases}$

Сделаем простую подстановку 

$x = t + 2; y = u + 6$

$begin{cases} t^2 -4t + 4 +12u + 72 = -68\u^2 +12u +36 - 4t +8 = 28end{cases}$

$begin{cases} t^2 -4t +12u = -144\u^2 -4t +12u = -16end{cases}$

Введем новую переменную 

$z<var> = 4t - 12u</var>$

Получаем систему 3 уравнений

$begin{cases} z =t^2 +144\z = u^2 +16\z = 4t - 12uend{cases}$

Не то что бы эта система была проще исходной, но зато уже можно понять, как её решать. Прежде всего, видно, что z больше нуля (и не просто, а ГОРАЗДО :), z >=144) 

Далее, предаставим t и u в виде радикалов, подставим в третье и получим давольно простое на вид уравнение вида

$z = 4sqrt{z -144} - 12sqrt{z - 16}$

Решать его очень просто - переносим один из радикалов в левую часть, возводим в квадрат, при этом сокращаются свободные члены (эту удачу можно было предвидеть :)), сокращаем на z, которая строго больше нуля, и вроде бы получаем решение. Однако мы получим неверное решение z = 144 + 16, которое этому уравнению не удовлетворяет. В чем же дело? А дело в том, что, записав уравнение для z, мы уже потеряли решение. Приглядевшись к системе, мы видим, что должны учитывать не только положительные значения радикалов, но и отрицательные. Проще говоря, у нас есть второе уравнение для z

$z = 4sqrt{z -144} + 12sqrt{z - 16}$

Это уравнение имеет действительное решение z = 144 + 16 = 160; (я пока выпишу решение системы, а как решается это уравнение, покажу в конце, заодно и объясню, в каком месте видно, что, если минус в исходном уранении, то решений нет.)

Итак 

$t = 4; \ u = -12;$

(!!!! - вот он, минус перед радикалом) остальные решения не годятся из-за знака. 

Отсюда имеем

$x= 2; \ y = -6;$

Это решение исходной системы.

 

Вернемся к уравнению

$z = 4sqrt{z -144} + 12sqrt{z - 16}$

Для того, чтобы была хоть какая-то польза, представим его в виде

$z = asqrt{z -b^{2}} + bsqrt{z - a^{2}}$

Решение 

$z - bsqrt{z - a^{2}} = asqrt{z -b^{2}} \z^{2} - 2zbsqrt{z - a^{2}} + b^{2}(z - a^{2}) = a^{2}(z -b^{2})\2bsqrt{z - a^{2}} = z - a^{2} + b^{2}$

Вот оно, то самое место, где минус в первоначальном уравнении для z приводит к нерешаемому уравнению (в действительных числах). В случае минуса правая часть будет с другим знаком, и мы получаем равенство отрицательной и положительной величин. Однако в случае плюса ничего такого нет, и мы смело возводим обе ЗАВЕДОМО положительные величины в квадрат. Получаем.

$4b^{2}(z - a^{2}) = z^2 -2z(a^{2} - b^{2}) +(a^{2} - b^{2})^{2}\(z - (a^{2} + b^{2}))^{2} = 0\z = a^{2} + b^{2}$

Подставляем а  = 4 и b = 12, получаем решение.

 

 

 

 

 

Answer 2

Преобразуем уравнения:

x^2 =-68-12y

y^2=28+4y

Складываем

x^2 + y^2 = -68-12y + 28+4y

x^2 + y^2  + 40 + 12y - 4y = 0

раскладываем 40

40=36+4

Преобразуем

(x^2 - 4y +4) +  (y^2+12y+36) = 0

Сворачиваем выражения в скобках

(х-2)^2 +(y+6)^2 = 0

Сумма квадратов двух чисел может быть равна нулю только тогда, когда каждая скобка равна нулю:

(х-2)=0 и (у+6)=0

Откуда

х = 2, у = -6