Провести полный анализ функции:
у=x^3 /
2(x+ 5)^2
Задание выполняется последовательно, со всеми необходимыми
объяснениями. В конце представляется график функции.
Помогите, пожалуйста, кто знает как? Не понимаю.
Ответы
Функция y=x^3/〖2(x+5)〗^2
Таблица точек
x y
-17 -17,0590278
-16 -16,9256198
-15 -16,875
-14 -16,9382716
-13 -17,1640625
-12 -17,6326531
-11 -18,4861111
-10 -20
-9 -22,78125
-8 -28,4444444
-7 -42,875
-6 -108
-5 -
-4 -32
-3 -3,375
-2 -0,44444444
-1 -0,03125
0 0
1 0,013888889
2 0,081632653
3 0,2109375
4 0,395061728
1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R, х ≠ -5.
2. Функция f (x) = x^3/〖2(x+5)〗^2 непрерывна на всей области определения.
Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ -5.
Область значений функции приведена в пункте 5.
3. Точки пересечения с осью координат Ох.
График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:
x^3/〖2(x+5)〗^2 =0.
Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.
Приравниваем нулю: х3 = 0. х = 0.
f(0)=0^3/〖2(0+5)〗^2 =0.
Значит, функция может принимать значения х = 0, а точка пересечения графика с осью координат Ох: х = 0.
4. Точки пересечения с осью координат Оу.
График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.
В соответствии с пунктом 3 х = 0, точка пересечения графика с осью координат Оу: х = 0.
Результат: f(0) = 0. Точка: A(0, 0).
5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y^'=(x^3+15x^2)/〖2(x+5)〗^3 =0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): x^3+15x^2= x^2 (x+15)=0.
Получаем 2 корня этого уравнения и это - точки, в которых возможен экстремум: х = 0 и х = -15.
Эти точки делят область определения функции на 3 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = -5 получаем 4 промежутка монотонности функции:
x ϵ (-∞; -15) U (-15; -5) U (-5; 0) U (0; +∞).
На промежутках находим знаки производной.
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -16 -15 -6 -5 -0,5 0 1
y' = 0,096168 0 -162 - 0,01989 0 0,037037
Минимума функции нет, точка х = 0 не является точкой экстремума.
Максимум функции в точке х = -15.
Возрастает на промежутках: x ϵ (-∞; -15) U (-5; 0) U (0; +∞).
Убывает на промежутке: (-15; -5).
Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = -5.
Находим пределы при х→-5_(-0) и х→-5_(+0).
(lim)┬(x→-5)〖x^3/(x+5)^2 =-∞〗.
Так как в точке х = -5 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = -5, является вертикальной асимптотой графика.
Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
6. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y'' = 0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
y^''=75x/(x+5)^4 =0.
Это уравнение имеет решение при х = 0, поэтому у графика перегиб в точке (0; 0).
7. Интервалы выпуклости, вогнутости:
Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:
x ϵ (-∞; -5) U (-5; 0) U (0; +∞).
Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
x = -6 -5 -0,5 0 1
y'' = -450 - -0,091449 0 0,05787
Вогнутая на промежутк=: (0; +∞)
Выпуклая на промежутках: (-∞; -5) и (-5; 0).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = -5.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
(lim)┬(x→∞)〖x^3/〖2(x+5)〗^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
(lim)┬(x→-∞)〖x^3/〖2(x+5)〗^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при (lim)┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=(lim)┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k=(lim)┬(x→∞)〖x^3/(〖2(x+5)〗^2*x)=x^2/(〖2x〗^2+20x+50)=(x^2/x^2 )/(〖2x〗^2/x^2 +20x/x^2 +50/x^2 )=1/(2+0+0)=1/2.〗
Коэффициент b: b=〖(lim)┬(x→±∞) (〗〖f(x)-kx).〗
(b=lim)┬( x→±∞)〖 x^3/〖2(x+5)〗^2 -1/2 x=(x^3-x^3-10x^2-25x)/2(x^2+10x+25) =-10/2=-5.〗
Конечный вид асимптоты следующий: y=(1/2)x - 5.
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=〖(-x)〗^3/(2(-x+5)^2 )=〖-x〗^3/〖2(x-5)〗^2 =-x^3/(x-5)^2 ≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
