Question

Даша и Гоша играют в игру. В каждой игре несколько раундов, вероятность
Даши выиграть раунд 70%, вероятность Гоши выиграть раунд 30%.
Первый игрок, выигравший два раунда, побеждает в игре. Игроки
решили играть игры до тех пор, пока не выиграет Гоша. Чему равно
математическое ожидание числа сыгранных игр?

Answer 1

1. Сначала найдем вероятности выигрыша Даши и Гоши в одной игре. Обозначим:

$p_p(D)=0.7$ - вероятность выигрыша Даши в одном раунде

$p_p(\Gamma)=1-p_p(D)=0.3$ - вероятность выигрыша Гоши в одном раунде

Если в первом и втором раунде выиграла Даша, то она выиграла и во всей игре с двух раундов. Это произойдет с вероятностью:

$p_2(D)=p_p(D)\cdot p_p(D)=0.7\cdot0.7=0.49$

Аналогично, если в первом и втором раунде выиграл Гоша, то он выиграл и во всей игре с двух раундов. Вероятность этого:

$p_2(\Gamma)=p_p(\Gamma)\cdot p_p(\Gamma)=0.3\cdot0.3=0.09$

Если победители в первом и втором раунде различаются, то необходимо проводить третий раунд. Вероятность этого:

$p_2(N)=1-p_p(D)-p_p(\Gamma)=1-0.49-0.09=0.42$

Если в третьем раунде выигрывает Даша, то она выигрывает в игре с трех раундов. Вероятность этого:

$p_3(D)=p_2(N)\cdot p_p(D)=0.42\cdot0.7=0.294$

Итоговая вероятность выигрыша Даши равна сумме двух вероятностей: выиграть Даше с двух раундов или с трех раундов:

$p(D)=p_2(D)+p_3(D)=0.49+0.294=0.784$

Если не выиграла Даша, то выиграл Гоша:

$p(\Gamma)=1-p(D)=1-0.784=0.216$

2. Для удобства переобозначим:

$p=p(\Gamma)=0.216=\dfrac{27}{125}$ - вероятность выигрыша Гоши в игре

$q=p(D)=0.784=\dfrac{98}{125}$ - вероятность проигрыша Гоши в игре

Рассмотрим случайную величину Х - число сыгранных игр до первой победы Гоши. Составим закон распределения этой случайной величины.

Если Гоша выиграет в первой же игре, то всего состоится одна игра. Произойдет это с той же вероятностью, с которой Гоша может выиграть в игре:

$P(X=1)=p$

Две игры будет проведено, если в первой игре Гоша проиграет, а во второй - выиграет:

$P(X=2)=qp$

И так далее, k игр будет проведено тогда, когда в первой (k-1) игре Гоша проиграет, а в последней - выиграет:

$P(X=k)=q^{k-1}p$

Получим закон распределения:

$\begin{array}{ccccccc}X&1&2&3&\ldots&k&\ldots\\P(X)&p&qp&q^2p&\ldots&q^{k-1}p&\ldots\end{array}$

Случайная величина Х в этом случае называется геометрически распределенной.

Математическое ожидание геометрически распределенной случайной величины определяется по формуле:

$M(X)=\dfrac{1}{p}$

Не зная формулы для мат.ожидания, ее можно непосредственно вывести.

Математическое ожидание - это сумма попарных произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения достигаются. Запишем это для случайной величины Х:

$M(X)=1\cdot p+2\cdot qp+3\cdot q^2p+\ldots+k\cdot q^{k-1}p+\ldots$

$M(X)=p+2qp+3q^2p+\ldots+kq^{k-1}p+\ldots$

Умножим обе части соотношения на $q\neq 0$:

$M(X)\cdot q=qp+2q^2p+3q^3p+\ldots+kq^kp+\ldots$

Вычтем из предыдущего соотношения полученное:

$M(X)-\underline{M(X)\cdot q}=p+2qp-\underline{qp}+3q^2p-\underline{2q^2p}+\ldots+(k+1)q^kp-\underline{kq^kp}+\ldots$

$M(X)\cdot (1-q)=p+qp+q^2p+\ldots+q^kp+\ldots$

В правой части вынесем за скобки общий множитель:

$M(X)\cdot (1-q)=p\cdot(1+q+q^2+\ldots+q^k+\ldots)$

Тогда в скобках остается выражение, представляющее собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем равным $q$. Преобразуем эту сумму:

$M(X)\cdot (1-q)=p\cdot\dfrac{1}{1-q}$

И выразим мат.ожидание:

$M(X)=\dfrac{p}{(1-q)^2}$

Учитывая, что $1-q=p$, упростим:

$M(X)=\dfrac{p}{(1-q)^2}=\dfrac{p}{p^2}=\dfrac{1}{p}$

Тогда:

$M(X)=1:\dfrac{27}{125} =\dfrac{125}{27}$

Ответ: 125/27