2. Трикутник ABC рівносторонній. На сторонах AB i AC вибрали точки E i F, а на продовженні сторони AB точку К так, що AE = CF = BK. Точка р - середина EF. Знайдіть кут КРС. Вкажіть його градусну міру.
Ответы
Ответ:
Угол КРС равен 90°
Пошаговое объяснение:
2. Треугольник ABC равносторонний. На сторонах AB и AC выбрали точки E и F, а на продолжении стороны AB точку К так, что AE = CF = BK. Точка Р-середина EF. Найдите угол КРС. Укажите его градусную меру.
Дано: ΔАВС - равносторонний;
Е ∈ АВ; F ∈ AC; K ∈ продолжению AB;
AE = CF = BK.
P - середина EF.
Найти: ∠КРС
Решение:
Продолжим РС на отрезок РМ = РС.
Соединим точки М и F, M и Е, Е и С.
Обозначим углы цифрами (см. рис.)
1. Рассмотрим МЕСF.
РМ = РС (построение); ЕР = РF (условие);
- Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.
⇒ МЕ || FC, МЕ = FC.
2. Рассмотрим ΔМЕК и ΔВКС.
∠1 = ∠2 = 60° (накрест лежащие при МЕ || AC и секущей АЕ)
⇒ ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 60° = 120° (смежные)
∠4 = 180° - ∠АВС = 180° - 60° = 120° (смежные)
⇒ ∠3 = ∠4
МЕ = FC (п.1); FC = ВК (условие)
⇒ МЕ = BK
AB = AE + EB
EK = KB + EB
⇒ AB = EK = BC
ΔМЕК = ΔВКС (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)
МК = МС (как соответственные элементы)
3. Рассмотрим ΔМКС.
МК = МС (п.2)
⇒ ΔМКС - равнобедренный.
МР = РС ⇒ КР - медиана
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.
⇒ КР ⊥ МС.
∠КРС = 90°
#SPJ1
