( помогите, дам 30 баллов и 5 звёзд за лучший ответ) Если сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 26, а
сумма второго и четвертого членов равна 160, тогда найдите сумму первого члена и первых шести членов.
Ответы
Відповідь:По условию имеем:
a₁+a₅=26
a₂*a₄=160
Распишем 2й, 4й и 5й члены прогрессии через a₁:
a₂=a₁+d
a₄=a₁+3d
a₅=a₁+4d
Выполним подстановку в первое равенство:
a₁+(a₁+4d)=26
2a₁+4d=26
упростим, т.е. разделим обе части равенства на 2:
a₁+2d=13
Далее, выполним подстановку во второе равенство:
(a₁+d)*(a₁+3d)=160
Для сокращения расчетов во второй скобке распишем выражение:
(a₁+d)*((a₁+2d)+d)=160
Из первого равенства было получено, что a₁+2d=13. Подставим это значение во вторую скобку, получим:
(a₁+d)*(13+d)=160
Выразим a₁ из первого равенства:
a₁=13-2d и подставим в последнее равенство:
(13-2d+d)*(13+d)=160
(13-d)(13+d)=160
Произведение в левой части равенства свернем по формуле разности квадратов:
13²-d²=160
169-d²=160
d²=9
d=3
a₁=13-2d
a₁=13-2*3
a₁=13-6
a₁=7
Далее по формуле суммы первых n членов прогрессии находим:
Sn=(2*a₁+(n-1)*d)/2*n
S₆=(2*7+5*3)/2*6
S₆=(14+15)/2*6
S₆=29/2*6
S₆=29*3
S₆=87
Пояснення:
По условию имеем:
a¹+a⁵=26
a²*а⁴=160
Распишем 2й, 4й и 5й члены прогрессии через
a¹:
a²=a¹+d
a⁴=a¹+3d
a⁵=a¹+4d
Выполним подстановку в первое равенство:
a¹t(a¹+4d)=26
2a¹+4d=26
упростим, т.е. разделим обе части равенства на 2:
a¹+2d=13
Далее, выполним подстановку во второе равенство:
(a¹+d)*(a¹+3d)=160
Для сокращения расчетов во второй скобке распишем выражение:
(a¹+d)°((a¹+2d)+d)=160
Из первого равенства было получено, что a¹+2d=13. Подставим это значение во вторую скобку, получим:
(a¹+d)*(13+d)=160
Выразим а¹ из первого равенства:
a¹=13-2d и подставим в последнее равенство:
(13-2d+d)*(13+d)=160
(13-d)(13+d)=160
Произведение в левой части равенства свернем по формуле разности квадратов:
13²-d²=160
169-d²=160
d²=9
d=3
a¹=13-2d
a¹=13-2*3
a¹=13-6
a¹=7
Далее по формуле суммы первых n членов
прогрессии находим:
Sn=(2*a¹+(n-1)*d)/2*n
S⁶=(2*7+5+3)/2*6
S⁶=(14+15)/2*6
S⁶=29/2*6
S⁶=29*3
S⁶=87