Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

$(\frac{7}{8};1)\cup (1;+\infty).$

Объяснение:

ОДЗ: $\left \{ {{x > 0} \atop {8x-7 > 0}} \right. \Leftrightarrow x > \frac{7}{8}.$

Неравенство имеет вид $a^2-3ab+2b^2 > 0\Leftrightarrow (a-b)(a-2b) > 0.$

Здесь $a=\log_2 x;\ b=\log_2(8x-7).$ Поэтому получаем

                   $(\log_2x-\log_2(8x-7))(\log_2x-2\log_2(8x-7)) > 0 \Leftrightarrow$

                    $(\log_2x-\log_2(8x-7))(\log_2x-\log_2(8x-7)^2) > 0.$

Важный момент: основание логарифмов больше 1, а логарифмическая функция в случае основания большего 1 возрастает, что приводит к тому, что на области определения

                                     $\log_2u > \log_2 v\Leftrightarrow u > v.$

Иными словами, знак выражения $\log_2u-\log_2v$  совпадает со знаком выражения $u-v.$ Поэтому наше неравенство равносильно (на ОДЗ!) неравенству

$(x-(8x-7))(x-(8x-7)^2) > 0\Leftrightarrow (-7x+7)((x-64x^2+112x-49) > 0\Leftrightarrow$

         $(x-1)(64x^2-113x+49) > 0\Leftrightarrow (x-1)(x-1)(64x-49) > 0\Leftrightarrow$

                            $(x-1)^2(x-\frac{49}{64}) > 0\Leftrightarrow (x-1)^2 > 0\Leftrightarrow x\not= 1.$

Скобку (x-49/64) я отбросил, поскольку на ОДЗ она положительна.

Ответ: $\left(\dfrac{7}{8};1\right)\cup (1;+\infty).$