Question

Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

0.

Объяснение:

Как известно, y=arctg x и y=cos x - функции ограниченные:

                                 $|{\rm arctg}\, x| < \dfrac{\pi}{2};\ |\cos x|\le 1,$

а y=ln x стремится к бесконечности, когда аргумент стремится к бесконечности. Поэтому

$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{{\rm arctg}^2\, n+\ln^2 n}{\cos n+\ln^3 n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\ln^2 n\left(\frac{{\rm arctg}^2\, n}{\ln^2 n}+1\right)}{\ln^3 n\left(\frac{\cos n}{\ln^3 n}+1\right)}}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{\ln n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\frac{{\rm arctg}^2\, n}{\ln^2 n}+1}{\frac{\cos n}{\ln^3 n}+1}=$

                                                     $=0\cdot\dfrac{0+1}{0+1}=0.$

Мы воспользовались тем, что если ограниченную функцию разделить на бескогнечно большую, то получится функция бесконечно малая.