Question

решить лёгким способом уравнение:
cosx - cos3x = cos2x - cos4x​

Answer 1

Ответ:

Применяем формулы разности косинусов и разности синусов :

$\bf cos\alpha -cos\beta =2\, sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot sin\dfrac{\beta -\alpha }{2}\ \ \ ,\\\\\\ sin\alpha -sin\beta =2\, sin\dfrac{\alpha -\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}$  .

Решить уравнение .

$\bf cosx-cos3x=cos2x-cos4x\\\\2\, sin2x\cdot sinx=2sin3x\cdot sinx\\\\2\, sinx\cdot (sin2x-sin3x)=0\\\\sinx\cdot 2\, sin\Big(-\dfrac{x}{2}\Big)\cdot cos\dfrac{5x}{2}=0\\\\a)\ \ sinx=0\ \ ,\ \ x=\pi n\ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ sin\dfrac{x}{2}=0\ \ ,\ \ \dfrac{x}{2}=\pi k\ \ ,\ \ x=2\pi k\ \ ,\ \ k\in Z\\\\c)\ \ cos\dfrac{5x}{2}=0\ \ ,\ \ \dfrac{5x}{2}=\dfrac{\pi }{2}+\pi m\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{5}+2\pi m\ \ ,\ \ m\in Z$  

Решения из серии  b)  входят в решения из серии  а) , поэтому их можно объединить .

Ответ:    $\bf x=\pi n\ ,\ x=\dfrac{\pi}{5}+2\pi m\ \ ,\ n,m\in Z\ .$