Предмет: Алгебра, автор: Аноним

Помогите пожалуйста решить задачу с объяснением пожалуйста...​

Приложения:

njnbb: да уж, два гандона называется

Ответы

Автор ответа: Artem112
3

y=C_1x+\dfrac{C_2}{x}

Найдем первую и вторую производную:

y'=\left(C_1x+\dfrac{C_2}{x}\right)'=(C_1x)'+\left(\dfrac{C_2}{x}\right)'=C_1-\dfrac{C_2}{x^2}

y''=\left(C_1-\dfrac{C_2}{x^2}\right)'=(C_1)'-\left(\dfrac{C_2}{x^2}\right)'=0-\left(C_2x^{-2}\right)'=-C_2\cdot(-2x^{-3})=\dfrac{2C_2}{x^3}

Подставим все соотношения в уравнение:

xy'-y+y''\cdot x^2=0

x\left( C_1-\dfrac{C_2}{x^2} \right)-\left( C_1x+\dfrac{C_2}{x}\right)+\dfrac{2C_2}{x^3} \cdot x^2=0

C_1x-\dfrac{C_2}{x}- C_1x-\dfrac{C_2}{x}+\dfrac{2C_2}{x} =0

(C_1x- C_1x)+\left(\dfrac{2C_2}{x}-\dfrac{C_2}{x}-\dfrac{C_2}{x}\right) =0

Поскольку в левой части все слагаемые взаимно уничтожаются, то есть их сумма равна 0, то указанная функция является решением дифференциального уравнения.

Ответ: да, является

Автор ответа: yugolovin
1

Ответ:

Является.

Объяснение:

Уравнение x^2y''+xy'-y=0. Можно поступить так же, как в параллельном решении - но зачем тогда нужно моё решение. Можно поступить немного экономней, заметив, что нам дано линейное однородное уравнение. Поэтому достаточно проверить, что решениями являются функции y=x и y=\frac{1}{x}, а тогда и любая их линейная комбинация y=C_1x+\frac{C_2}{x}    также будет решением.

y=x\Rightarrow y'=1;\ y''=0\Rightarrow x^2y''+xy'-y=x^2\cdot 0+x\cdot 1-x=x-x=0\Rightarrow

функция y=x является решением.

y=\frac{1}{x}\Rightarrow y'=-\frac{1}{x^2};\ y''=\frac{2}{x^3}\Rightarrow x^2y''+xy'-y= \frac{2}{x}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0\Rightarrow

функция y=\frac{1}{x} является решением.

Кстати, можно непосредственно решить уравнение, заметив, что оно является уравнением Эйлера, и существует простой способ его решения с помощью характеристического уравнения. Но мне лень это делать.

А можно решить уравнение, используя его конкретные особенности. Разделив уравнение на x^2, приводим его к виду

                                y''+\dfrac{y'x-yx'}{x^2}=0;\ y''+\left(\dfrac{y}{x}\right)'=0;\ \left(y'+\dfrac{y}{x}\right)'=0;\ y'+\dfrac{y}{x}=C_1;

xy'+y=C _1x;\ (xy)'=C_1x;\ xy=\dfrac{C_1x^2}{2}+C_2; \ \dfrac{C_1}{2}=C_3;\ y=C_3x+\dfrac{C_2}{x}.

Похожие вопросы
Предмет: Математика, автор: Ulyana8192