Question

5. Дано равенство x² +6x+4=(x+a)² +b, где а и b - постоянные.
а) Найдите а и b.
b) Разложите квадратный трехчлен х² +6x +4 на множители.​

Answer 1

Ответ:

a) a = 3, b = -5

b) х²+6·x +4 = (x+3+√5)·(x+3-√5)

Объяснение:

Нужно знать: Если x₁ и x₂ корни квадратного уравнения a·x²+b·x+c=0, то a·x²+b·x+c = a·(x-x₁)·(x-x₂).

Решение.

а) Раскроем скобку в правой части равенства x²+6·x+4 = (x+a)²+b:

(x+a)²+b = x²+2·a·x+a²+b

Теперь в равенстве x²+6·x+4 = x²+2·a·x+a²+b приравниваем коэффициентов с одинаковыми степенями х:

перед x² коэффициенты равны: 1;

перед x коэффициенты равны: 6 = 2·a, отсюда a = 3;

константы равны: 4 = a²+b, отсюда b = 4-a² = 4-3² = 4-9 = -5.

b) Разложим квадратный трехчлен х²+6·x +4 на множители. Для этого решим квадратное уравнение х²+6·x +4 = 0:

D = 6²-4·1·4 = 36-16 = 20,

$\tt \displaystyle x_1=\frac{-6-\sqrt{20} }{2 \cdot 1} =\frac{-6-\sqrt{20} }{2} = -3-\sqrt{5}, \; \; x_2= -3+\sqrt{5}.$

Тогда

х²+6·x +4 = (x-(-3-√5))·(x-(-3+√5)) = (x+3+√5)·(x+3-√5).

#SPJ1

Answer 2

Ответ:

а)   а = 3;  b = -5

b)   х² + 6x + 4 =  (х + 3 + √5)(х + 3 - √5)

Объяснение:

а)

x² + 6x + 4=(x+a)² + b

В правой части возведем (x+a)²

(x+a)² = x² + 2ax + a²

Подставим в исходное уравнение и получим

x² + 6x + 4 = x² + 2ax + a² + b

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х.

При х²  и справа, и слева коэффициент равен 1 - нам не интересно.

При х

6 = 2а   ⇒   а = 3

Свободный член

4 = a² + b

4 = 3² + b

4 = 9 + b

b = - 5

b)

х² + 6x + 4

способ 1.

Если мы нашли в предыдущем шаге а и b, то получим

х² + 6x + 4 = (x + 3)² - 5.

Получили разность квадратов.

Применим формулу разности квадратов

a² - b² = (a+b)(a-b)

(x + 3)² - 5 = (х + 3 + √5)(х + 3 - √5)

способ 2.

Выделим полный квадрат

x² + 2*3*x + 3² - 3² +4 = (x + 3)² - 5

Аналогично первому способу получили разность квадратов.

и тогда

(x + 3)² - 5 = (х + 3 + √5)(х + 3 - √5)

#SPJ1