Question

Через дві твірні конуса, кут між якими α, проведено площину, яка утворює з площиною основи кут β, відстань від центра основи конуса до площини перерізу дорівнює d.
1.Розрахуйте висоту перерізу (проведену до основи).
2.Розрахуйте довжину основи перерізу .
3.Знайдіть площу перерізу.

Answer 1

Ответ:

1.   Высота сечения

$\displaystyle \bf KH=\frac{2d}{sin\;2\beta }$

2.  Длина основания сечения

$\displaystyle \bf AB =\frac{4d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta }$

3. Площадь сечения

$\displaystyle\bf S(AKB)=\frac{4d^2\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin^22\beta }$

Объяснение:

Через две образующие конуса, угол между которыми α, проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β, расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно d.

1. рассчитайте высоту сечения (проведенную к основанию).

2. рассчитайте длину основания сечения.

3. Найдите площадь сечения.

Дано: конус;

∠АКВ = α; ∠КНО = β;

ОЕ = d

Найти: КН; АВ; S(AKB)

Решение:

• Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

⇒ ОЕ ⊥ КН.

1. Найдем высоту сечения.

Рассмотрим ΔОЕН - прямоугольный.

ОЕ - катет, ОН - гипотенуза.

• Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \frac{OE}{OH} =sin\;\beta \\\\\frac{d}{OH}=sin\;\beta \;\;\;\Rightarrow \;\;\;OH=\frac{d}{sin\;\beta }$

Рассмотрим ΔОКН - прямоугольный.

ОН - катет; КН - гипотенуза.

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \frac{OH}{KH} =cos\;\beta\\ \\KH=\frac{OH}{cos\;\beta } \;\;\;\Rightarrow \;\;\; KH=\frac{d}{sin\;\beta \;cos\beta } \\\\\displaystyle \bf KH=\frac{2d}{sin\;2\beta }$

2. Найдем длину основания сечения.

Рассмотрим ΔАКВ - равнобедренный.

• В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

⇒ ∠АКН = ∠НКВ = α/2;   АН = НВ

Рассмотрим ΔКНВ - прямоугольный.

• Тангенс угла - отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\displaystyle \frac{HB}{KH} =tg\frac{\alpha }{2} \\ \\HB=KH\cdot tg\frac{\alpha }{2} } \;\;\;\Rightarrow \;\;\; HB=\frac{2d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta } \\\\\displaystyle \bf HB=\frac{2d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta }$

$\displaystyle \bf AB=2 HB=\frac{4d\cdot tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta }$

3. Найдем площадь сечения.

• Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой проведена эта высота.

$\displaystyle S(AKB)=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot KH = \frac{1}{2}\cdot \frac{4d\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin\;2\beta } \cdot \frac{2d}{sin\;2\beta } =\frac{4d^2\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin^22\beta }$

$\displaystyle\bf S(AKB)=\frac{4d^2\;tg\frac{\alpha }{2} }{sin^22\beta }$