Question

Знайти усі натуральнi n > 1 для яких існують різні натуральні числа k1, k2, ... К, такі, що при довільному викреслюванні декількох (але не всіх) з цих чисел, середне геометричне чисел, що залишились, буде натуральним числом. ​

Answer 1

Щоб знайти всі натуральні числа n > 1, для яких існують різні натуральні числа k1, k2,... K, такі, що якщо ви випадково викреслите кілька (але не всі) з цих чисел, середнє геометричне РЕШТИ чисел буде натуральним числом, ми можемо зробити так:

Середнє геометричне значення набору чисел дорівнює n-му кореню з добутку цих чисел, де n - кількість елементів у наборі. Отже, середнє геометричне РЕШТИ чисел буде натуральним числом тоді і тільки тоді, коли добуток цих чисел є досконалим N-М ступенем, де n - кількість елементів у наборі.

Так як числа k1, k2,... K має бути різним, добуток цих чисел може бути записаний як добуток їх простих розкладів на множники. Отже, ми можемо знайти всі можливі значення n, знайшовши всі можливі прості факторизації добутку цих чисел, які є досконалими N-ю ступенями.

Наприклад, якщо n = 2, то добуток чисел k1, k2,... K має бути ідеальним квадратом. Якщо n = 3, то добуток повинен бути ідеальним кубом і так далі.