Question

помогите

Определить. сколько целых решений имеет неравенство на интервале (0; 2л).
2cos^2x -3cosx-2>0

Answer 1

Ответ:

    $\bf 2cos^2x-3\, cosx-2 > 0$  

Квадратное неравенcтво относительно  cosx .

$\bf t=cosx\ \ ,\ \ -1\leq t\leq 1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2t^2-3t-2 > 0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=9+16=25\ \ ,\ \ \ t_1=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{3+5}{4}=2\\\\2(t+\dfrac{1}{2})(t-2) > 0$

Решаем неравенство методом интервалов.

Знаки:     $\bf +++(-\frac{1}{2}\ )---(2)+++$  

$\bf t < -\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ t > 2$  

Учитывая, что  $\bf -1\leq t\leq 1$  , получим  решение неравенства   $\bf t < -\dfrac{1}{2}$  

$\bf cosx < -\dfrac{1}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{2\pi }{3}+2\pi n < x < \dfrac{4\pi }{3}+2\pi n\ ,\ \ n\in Z$  

Целых решений  на  интервале  $\bf (\, 0\, ;\, 2\pi )$  одно -  $\bf x=\pi$  .