Question

Власна частота ідеального коливального контура з конденсатором ємністю 5 нф становить 5 кГц. Коли паралельно до конденсатора під’єднали другий конденсатор, частота зменшилась до 2 кГц. Визначити індуктивність котушки і ємність другого конденсатора.

Answer 1

Ответ:

Индуктивность катушки равна приблизительно 0,2 Гн, а емкость конденсатора равна 7,5 · 10⁻⁹ Ф

Объяснение:

Дано:

$C_{1} =$ 5 · 10⁻⁹ Ф

$\nu_{1} =$ 5000 Гц

$\nu_{2} =$ 2000 Гц

Найти:

$L \ - \ ?$

$C_{2} \ - \ ?$

---------------------------------------

Решение:

Формула Томсона:

$T = 2 \pi \sqrt{LC}$

Частота:

$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC} }$

При параллельном соединении конденсаторов:

$C_{3} = C_{1} + C_{2}$

Составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{ \nu_{1} = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{1}} } } \atop { \nu_{2} = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{3}} } }} \right \Longrightarrow \dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} = \cfrac{\dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{1}} } }{\dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC_{3}} }} = \dfrac{2 \pi \sqrt{LC_{3}}}{2 \pi \sqrt{LC_{1}}} = \dfrac{\sqrt{L} \cdot \sqrt{C_{3}} }{\sqrt{L} \cdot \sqrt{C_{1}}} = \sqrt{ \frac{C_{3}}{C_{1}} }$

$\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} = \sqrt{ \dfrac{C_{3}}{C_{1}} }$

$\bigg(\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} \bigg)^{2} = \Bigg( \sqrt{ \dfrac{C_{3}}{C_{1}} } \Bigg)^{2}$

$\bigg(\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} \bigg)^{2} = \dfrac{C_{3}}{C_{1}} = \dfrac{C_{2} + C_{1}}{C_{1}} = \dfrac{C_{2} }{C_{1}} + \dfrac{ C_{1}}{C_{1}} = \dfrac{C_{2} }{C_{1}} + 1 \Longrightarrow \boldsymbol{ \boxed{ C_{2} = C_{1}\Bigg(\bigg(\dfrac{\nu_{1}}{\nu_{2}} \bigg)^{2} - 1 \Bigg) }}$

Индуктивность:

$\nu = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC} } \Longrightarrow 2 \pi \nu = \dfrac{1}{\sqrt{L} \cdot \sqrt{C} } \Longrightarrow \sqrt{L} = \dfrac{1}{ 2 \pi \nu\sqrt{C} } \Longrightarrow L = \dfrac{1}{( 2 \pi \nu)^{2}C}$

$\boldsymbol {\boxed{ L = \dfrac{1}{( 2 \pi \nu_{1})^{2}C_{1}} }}$

Расчеты:

$\boldsymbol{C_{2}} =$ 5 · 10⁻⁹ Ф((5000 Гц/2000 Гц)² - 1) = 7,5 · 10⁻⁹ Ф

$\boldsymbol L =$ 1 / (5 · 10⁻⁹ Ф(2 · 3,14 · 5000 Гц)²) $\boldsymbol \approx$ 0,2 Гн

Ответ: $C_{2} =$ 7,5 · 10⁻⁹ Ф. $L \approx$ 0,2 Гн.

#SPJ1