Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Answer 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник $tt SOK$, в нём $tt angle SKO=45а$, значит $tt angle OSK=90а-angle SKO=90а-45а=45а$, следовательно, треугольник $tt SOK$ - равнобедренный прямоугольный треугольник: $tt SO=OK=h$

$tt OK-$ радиус вписанной окружности основания. Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный треугольник $tt ABC$

$tt r=OK=dfrac{AC}{2sqrt{3}} ~~Rightarrow~~ AC=2rsqrt{3} =2hsqrt{3}$

Площадь основания: $tt S_{oc_H}=dfrac{AC^2sqrt{3}}{4}=dfrac{(2hsqrt{3})^2cdot sqrt{3}}{4}=3h^2sqrt{3}$ кв. ед.

$tt SK=sqrt{SO^2+OK^2}=sqrt{h^2+h^2}=hsqrt{2}$ - апофема.

Площадь боковой поверхности: $tt S_{bok}=dfrac{1}{2}cdot P_{oc_H}cdot SK= dfrac{1}{2}cdot 3cdot2hsqrt{3} cdot hsqrt{2} =3h^2sqrt{6}$ кв.ед.

Площадь полной поверхности: $tt S=S_{oc_H}+S_{bok}=3h^2sqrt{3}+3h^2sqrt{6}=3h^2sqrt{3}left(1+sqrt{2}right)$ кв. ед.

Ответ: $tt3h^2sqrt{3}left(1+sqrt{2}right)$ кв.ед..

Answer 2

ДАНО: SАВС - правильная треугольная пирамида ; SD = h ; линейный угол двугранного угла ABCS равен 45°.

НАЙТИ: S пол. пов. пирамиды
______________________________

РЕШЕНИЕ:

1) Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный лучами с вершиной на ребре, лучи которого лежат на гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, то есть ∆ АВС – равносторонний

В ∆ АВС опустим высоту АН на ВС
В равностороннем треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой → ВН = СН

отрезок SD ( высота пирамиды ) перпендикулярен плоскости основания ∆ АВС
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости →
SD перпендикулярен АН
АН перпендикулярен ВС
Значит, SH перпендикулярен ВС по теореме о трёх перпендикулярах

Из этого следует, что угол SHА – линейный угол двугранного угла АВСS, то есть угол SHА = 45°

2) Рассмотрим ∆ SHD (угол SDH = 90°):
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90°
угол HSD = 90° - 45° = 45°

Значит, ∆ SHD – прямоугольный и равнобедренный , SD = DH = h

По теореме Пифагора:
SH² = SD² + DH²
SH² = h² + h² = 2h²
SH = h√2

Как было сказано выше, высота, проведённая в равностороннем треугольнике, является и медианой, и биссектрисой
Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины
Следовательно, AD : DH = 2 : 1 →
AD = 2 × DH = 2h
AH = AD + DH = 2h + h = 3h

Сторона равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$a = frac{2 sqrt{3}h }{3}$


где а - сторона равностороннего треугольника, h - высота

BC = ( 2√3 × AH ) / 3 = ( 2√3 × 3h ) / 3 = 2√3h

S пол. пов. пирамиды = S осн. + S бок. пов.

В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равны друг другу →

S пол. пов. пирамиды = S abc + 3 × S bcs

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$s = frac{ {a}^{2} sqrt{3} }{4}$
где а - сторона равностороннего треугольника

S пол. пов. пирамиды =
$= frac{ {(2 sqrt{3}h )}^{2} sqrt{3} }{4} + 3 times frac{1}{2} times 2 sqrt{3}h times h sqrt{2 } = \ \ = 3 sqrt{3} {h}^{2} + 3 sqrt{6} {h}^{2} = 3 sqrt{3} {h}^{2} (1 + sqrt{2} )$

ОТВЕТ: 3√3h² × ( 1 + √2 )