Question

Знайдіть значення виразу 9^4×27^-3/81^-2×3^5; (61/4)^-7×((2/5)^5)^-3

Answer 1

№1

Знайдіть значення виразу

$\displaystyle \frac{9^4 \cdot 27^{-3}}{81^{-2}\cdot 3^5 } =\frac{(3^2)^{4}\cdot (3^3)^{-3}}{(3^{4})^{-2}\cdot 3^5} = \frac{3^8 \cdot 3^{-9}}{3^{-8}\cdot 3^5}=\frac{3^{8+(-9)}}{3^{-8+5}} = \frac{3^{-1}}{3^{-3}} = 9$

Подробное решение :

Приведем все  числа в данном выражении к одному основанию :

$\displaystyle \frac{9^4 \cdot 27^{-3}}{81^{-2}\cdot 3^5 } =\frac{(3^2)^{4}\cdot (3^3)^{-3}}{(3^{4})^{-2}\cdot 3^5}$

Применяем свойства степеней :

1. При возведении степени в степень основание остается таким же, а показатели перемножаются :  

$\boldsymbol{(a^n)^m = a^{n\cdot m }}$

$\displaystyle\frac{(3^2)^{4}\cdot (3^3)^{-3}}{(3^{4})^{-2}\cdot 3^5} =\frac{3^{2\cdot 4}\cdot 3^{3\cdot (-3)}}{3^{4\cdot (-2)}\cdot 3^5} = \frac{3^8 \cdot 3^{-9}}{3^{-8}\cdot 3^5}$

2. При умножении степеней  с равными основаниями основание остается таким же , а показатели степеней складываются :

$\boldsymbol{a^n \cdot a^m = a^{n+ m }}$

$\displaystyle\ \frac{3^8 \cdot 3^{-9}}{3^{-8}\cdot 3^5} = \frac{3^{8+(-9)}}{3^{-8+5}} = \frac{3^{-1}}{3^{-3}}$

3. При делении степеней с равными основаниями основание остается таким же , а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя :

$\displaystyle \frac{3^{-1}}{3^{-3}} = 3^{-1-(-3) } = 3^2 = 9$

№2

$\displaystyle \bigg (\frac{61}{4} \bigg ) ^{-7}\cdot \left (\bigg(\frac{2}{5}\bigg )^5 \right )^{-3} =\bigg (\frac{2^2}{61} \bigg ) ^{7}\cdot \bigg(\frac{5}{2}\bigg )^{15}= \frac{2^{14}\cdot 5^{15}}{2^{15}\cdot 61^7} =\frac{5^{15}}{2\cdot 61^7}$  

Подробное решение :

1. При возведении дроби в степень с отрицательным показателем можно возвести обратную дробь в степень с противоположным показателем :

$\boldsymbol{\bigg (\dfrac{a}{b}\bigg) ^{-n}=\bigg (\dfrac{b}{a}\bigg )^n }$

$\displaystyle \bigg (\frac{61}{4} \bigg ) ^{-7}\cdot \left (\bigg(\frac{2}{5}\bigg )^5 \right )^{-3} = \bigg (\frac{4}{61} \bigg ) ^{7}\cdot \left (\bigg(\frac{5}{2}\bigg )^5 \right )^{3}$

2. При умножении степеней  с равными основаниями основание остается таким же , а показатели степеней складываются :

$\displaystyle \bigg (\frac{4}{61} \bigg ) ^{7}\cdot \left (\bigg(\frac{5}{2}\bigg )^5 \right )^{3}=\bigg (\frac{2^2}{61} \bigg ) ^{7}\cdot \left (\bigg(\frac{5}{2}\bigg )^5 \right )^{3} =\bigg (\frac{2^2}{61} \bigg ) ^{7}\cdot \bigg(\frac{5}{2}\bigg )^{5\cdot 3} =\\\\\\=\bigg (\frac{2^2}{61} \bigg ) ^{7}\cdot \bigg(\frac{5}{2}\bigg )^{15}$

3. При возведении в степень дробь в эту степень возводятся и числитель , и знаменатель :

$\boldsymbol{\bigg (\dfrac{a}{b}\bigg) ^{n}=\dfrac{a^n}{b^n}}$

$\displaystyle \bigg (\frac{2^2}{61} \bigg ) ^{7}\cdot \bigg(\frac{5}{2}\bigg )^{15} = \frac{(2^{2})^7}{61^7}\cdot \frac{5^{15}}{2^{15}}$

Выполняем последние действия с числами которые имеют равные основания

$\displaystyle \frac{(2^{2})^7}{61^7}\cdot \frac{5^{15}}{2^{15}} =\frac{2^{14}\cdot 5^{15}}{61^7 \cdot 2^{15}} =\frac{5^{15}}{2\cdot 61^7}$

#SPJ1