Составить уравнение сторон треугольника, если известны координаты одной из его вершин C(4, -1), а также уравнения высоты 2x – 3y + 12 = 0 и медианы 2x + 3y = 0, проведенные с одной вершины.
Ответы
Ответ: (AC) 3x+7y-5=0 (СВ): 3x+2y-10=0 (AB) 9x+11y-4=0
Объяснение:
Если высота и медиана проведены из одной вершины, то этой вершиной будет точка пересечения 2x-3y+12=0 и 2x+3y=0
Найдем координаты этой точки, решив систему уравнений.
2x-3y+12-2x-3y=0
6y=12
y=2 2x+3*2=0 => 2x=-6 => x=-3
=> A(-3;2) - вершина треугольника. Координаты третьей вершины В пока неизвестны.
Найдем уравнение стороны CВ, которая перпендикулярна высоте.
Так как перпендикулярна, то произведение коэффициентов направления этих прямых K1*K2=-1 , либо A1/B1=-B2/A2
A1/B1=-2/3 => B2=2 ; A2=3 =>
(CB): 3x+2y+c=0 . Чтобы найти коэфициент с подставим координаты точки С в полученное уравнение
3*4+2*(-1)+c=0 => 12-2+c =0 => c=-10
Уравнение (СВ): 3x+2y-10=0
Найдем теперь координаты точки пересечения медианы и (СВ)- M
3x+2y-10 =0 2x+3y =0 => 6x+4y-20=0 ; 6x+9y=0
6x+9y-6x-4y+20=0=> 5y+20=0
y=-4 6x-9*4=0 =>x=6
M(6;-4)
Теперь найдем координаты вершины В, имея C(4:-1) и М(6;-4)- точка посредине между С и В.
Xm=(Xc+Xb)/2=> 6=(4+Xb)/2 => 12=4+Xb => Xb=8
Ym=(Yc+Yb)/2=> -4=(-1+Yb)/2 => -8=4+Xb => Xb=-8 =Yb-1 Yb=-7
=> B(8;-7)
Теперь найдем уравнения прямых (AB) и (АС) , по известной формуле: (x-x1)/(x1-x2)= ( y-y1)/(y1-y2)
(AB): (x+3)/(-3-8) =(y-2)/(2-(-7)) => (x+3)/(-11)=(y-2)/9
y-2=(x+3)*(9/-11)
y-2+9/11x+18/11 =0
11y-22+9x+18=0
9x+11y-4=0
(AC): (x+3)/(-3-4)=(y-2)/(2-(-1))
(x+3)/(-7)=(y-2)/3
y-2=(x+3)*3/(-7)
y-2+3x/7+9/7=0
7y-14+3x+9=0
3x+7y-5=0