Question

...................................

Answer 1

1. Рассмотрим ситуацию, когда команды две.

Учитывая ограничения, 8 человек можно разбить на 2 команды следующими способами: 2+6, 3+5, 4+4.

Первый способ: Число способов разбить 8 человек на две команды по схеме 2+6 равно числу способов выбрать 2 человек из 8, которые составят меньшую команду. Число этих способов:

$N_2^{2+6}=C_8^2=\dfrac{8\cdot7}{2}=28$

Второй способ: Число способов разбить 8 человек на две команды по схеме 3+5 равно числу способов выбрать 3 человек из 8, которые составят меньшую команду. Число этих способов:

$N_2^{3+5}=C_8^3=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{1\cdot2\cdot3}=56$

Третий способ: Необходимо разбить 8 человек на две команды по схеме 4+4. Число способов выбрать 4 человек из 8, которые составят первую команду, равно $C_8^4$. Оставшиеся люди автоматически составят вторую команду. Но поскольку первая и вторая команды в этом случае равны с точки зрения количества человек в них, то фактически 2 найденных способа соответствуют одному разбиению (один раз 4 человека были выбраны в первую команды, второй раз эти же 4 человека не были выбраны в первую команды, а значит стали второй командой). Поэтому, результат нужно разделить на число способов упорядочить команды, то есть на $2!$. Получим:

$N_2^{4+4}=\dfrac{1}{2!} \cdot C_8^4=\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=35$

2. Рассмотрим ситуацию, когда команды три.

Учитывая ограничения, 8 человек можно разбить на 3 команды следующими способами: 2+2+4, 2+3+3.

Первый способ: Необходимо разбить 8 человек на три команды по схеме 2+2+4. Для того чтобы составить первую команду, нужно выбрать 2 человека из 8, сделать это можно $C_8^2$ способами. Чтобы составить вторую команду, нужно выбрать 2 человека из 6 оставшихся, сделать это можно $C_6^2$ способами. Оставшиеся люди составят третью команду. Но поскольку, первая и вторая команда равны по численности, то фактически различных разбиений будет в $2!$ раз меньше, так как упорядочить равночисленные команды можно именно $2!$ способами. Получим число способов:

$N_3^{2+2+4}=\dfrac{1}{2!} \cdot C_8^2\cdot C_6^2=\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{8\cdot7}{2}\cdot\dfrac{6\cdot5}{2} =210$

Второй способ: Необходимо разбить 8 человек на три команды по схеме 2+3+3. Для того чтобы составить первую команду, нужно выбрать 2 человека из 8, сделать это можно $C_8^2$ способами. Чтобы составить вторую команду, нужно выбрать 3 человека из 6 оставшихся, сделать это можно $C_6^3$ способами. Оставшиеся люди составят третью команду. Но поскольку, вторая и третья команда равны по численности, то фактически различных разбиений будет в $2!$ раз меньше. Получим число способов:

$N_3^{2+3+3}=\dfrac{1}{2!} \cdot C_8^2\cdot C_6^3=\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{8\cdot7}{2}\cdot\dfrac{6\cdot5\cdot4}{1\cdot2\cdot3} =280$

3. Рассмотрим ситуацию, когда команды четыре.

Учитывая ограничения, 8 человек можно разбить на 4 команды единственным способом: 2+2+2+2.

Для того чтобы составить первую команду, нужно выбрать 2 человека из 8, сделать это можно $C_8^2$ способами. Чтобы составить вторую команду, нужно выбрать 2 человека из 6 оставшихся, сделать это можно $C_6^2$ способами. Чтобы составить третью команду, нужно выбрать 2 человека из 4 оставшихся, сделать это можно $C_4^2$ способами. Оставшиеся люди составят четвертую команду. Поскольку все четыре команды равны по численности, то фактически различных разбиений будет в $4!$ раз меньше. Число способов:

$N_4^{2+2+2+2}=\dfrac{1}{4!} \cdot C_8^2\cdot C_6^2\cdot C_4^2=\dfrac{1}{24} \cdot\dfrac{8\cdot7}{2}\cdot\dfrac{6\cdot5}{2} \cdot\dfrac{4\cdot3}{2} =105$

Более 4 команд с учетом ограничений составить не получится.

Находим общее число способов разбиений на команды:

$N=\sum\limits_i N_i=28+56+35+210+280+105=714$

Ответ: 714 способами