Question

Алгебра. Даю 17 баллов.

Решить 1 задание с косинусом подробно и с обїяснениями.

Answer 1

Ответ:

1 → Г; 2 → Б; 3 → В; 4 → А

Объяснение:

9. Решите уравнение (1-4). Установить соответствие между каждым уравнением и количеством его корней (А-Д) на отрезке [-5;5].

$\displaystyle 1. \;cos^2x-sin^2x=1\\\\2.\;log_3x=-2\\\\3.\;\frac{x^3-4x}{x^3+8}=0\\ \\4.\;x^4+5x^2+4=0$

А. ни одного; Б. один; В. два; Г. три; Д. четыре.

1.  

$\displaystyle cos^2x-sin^2x=1$

• Основное тригонометрическое тождество:
• sin²x + cos²x = 1

⇒ cos²x = 1 - sin²x

$\displaystyle 1-sin^2x-sin^2x=1\\\\-2sin^2x=0\\\\sin^2x=0\\\\x=\pi n,\;n\in Z$

Дан промежуток [-5; 5]

$\displaystyle -5\leq x\leq 5\\\\-5\leq \pi n\leq 5\;\;\;\;\;|:\pi =3,14\\\\-1,6\leq n\leq 1,6$

Так как n - целое число, значит n = -1; 0; 1

x₁ = -π;   x₂ = 0;   x₃ = π

Ответ: 1 → Г

2.

$\displaystyle log_3x=-2$

ОДЗ: х > 0

$\displaystyle log_3x=log_33^{-2}\\\\x=\frac{1}{9}$

x входит в данный промежуток [-5; 5]

Ответ: 2 → Б

3.

$\displaystyle \frac{x^3-4x}{x^3+8} =0\\\\\frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}=0$

ОДЗ: х + 2 ≠ 0   ⇒   х ≠ -2

х² - 2х + 4 > 0, поэтому этот множитель не рассматриваем.

$\displaystyle \frac{x(x-2)}{x^2-2x+4}=0\\ \\x_1=0;\;\;\;x_2=2$

Оба корня входят в данный промежуток [-5; 5].

Ответ: 3 → В

4.

$\displaystyle x^4+5x^2+4=0$

Замена переменной:  х² = t,   t ≥ 0

$\displaystyle t^2+5t+4=0\\\\D=25-16=9;\;\;\;\;\;\sqrt{D} =3\\\\t_1=\frac{-5+3}{2}=-1;\;\;\;\;\;t_2=\frac{-5-3}{2}=-4$

Так как t ≥ 0, то данные корни не подходят.

⇒ ∅

Ответ: 4 → А