7. Знайти кут АСВ, якщо А( -1; -2; -8), В( 0; -4; -6), С( 10; 0; 2).
8. Знайти рівняння медіани АД трикутника АВС.
А( 3; 6), В( 15; -3), С( 13; 11).
9. Знайти рівняння площини АВС, якщо А( -1; -2; -8), В( 0; -4; -6), С(10;0; 2).
Ответы
7. Знайти кут АСВ, якщо А( -1; -2; -8), В( 0; -4; -6), С( 10; 0; 2).
Вектор СA = (-1-10: -2-0; -8-2) = (-11; -2; -10).
Модуль равен √(121 + 4 + 100) = √225 = 15.
Вектор СB = (0-10: -4-0; -6-2) = (-10; -4; -8).
Модуль равен √(100 + 16 + 64) = √180 = 6√5.
cos(CA_CB) = (-11*(-10) + (-2)*(-4) + (-10)*(-8)/( 15*6√5) =
(110 + 8 + 80)/(90√5) = 198/(90√5) ≈ 198/201,246118 ≈ 0,98386991.
Угол АСВ равен arccos 0,98386991 ≈ 0,1798535 радиан или 10,30484647 градуса.
8. Знайти рівняння медіани АD трикутника АВС.
А( 3; 6), В( 15; -3), С( 13; 11).
Находим координаты точки D как середині стороні ВС.
D = (В( 15; -3) + С( 13; 11))/2 = (14; 4).
Уравнение АD: (x – 3)/14 = (y – 6)/4 каноническое.
4x – 12 = 14y – 84,
4x – 14y + 72 = 0 или 2х – 7у + 36 = 0 общее,
у = (2/7)х + (36/7) с угловым коэффициентом.
9. Знайти рівняння площини АВС, якщо
А( -1; -2; -8), В( 0; -4; -6), С(10;0; 2).
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-1) y - (-2) z - (-8)
0 - (-1) -4 - (-2) -6 - (-8)
10 - (-1) 0 - (-2) 2 - (-8) = 0
x - (-1) y - (-2) z - (-8)
1 -2 2
11 2 10 = 0
(x - (-1))(-2·10-2·2) – ( - (-2))(·10-2·11) +(z - (-8))(1·2-(-2)·11) = 0
(-24(x - (-1)) + 12(y - (-2)) + 24(z - (-8) = 0
- 24x + 12y + 24z + 192 = 0
2x - y - 2z - 16 = 0.