Question

2. В геометрической прогрессии (6,) известно, что b2 = 27,b4 = 3 а) Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии, при условии, что прогрессия положительная.
b) Найдите сумму первых шести членов этой геометрической прогрессии.

Answer 1

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

$b_n=b_1q^{n-1}$

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

По условию:

$b_2=b_1q=27$

$b_4=b_1q^3=3$

Разделим второе соотношение на первое:

$\dfrac{b_1q^3}{b_1q} =\dfrac{3}{27}$

$q^2=\dfrac{1}{9}$

$\left|q \right|=\dfrac{1}{3}$

Так как сказано, что прогрессия - положительная, то ее знаменатель положительный. Значит:

$q=\dfrac{1}{3}$

Выразим из соотношения для второго члена:

$b_1=\dfrac{b_2}{q}$

$b_1=27:\dfrac{1}{3} =27\cdot3=81$

Находим сумму первых шести членов:

$S_6=\dfrac{b_1(q^6-1)}{q-1}$

$S_6=\dfrac{81\cdot\left(\left(\dfrac{1}{3} \right)^6-1\right)}{\dfrac{1}{3} -1}=\dfrac{81\cdot\dfrac{1}{3^6} -81}{-\dfrac{2}{3} }=\dfrac{\dfrac{1}{9} -81}{-\dfrac{2}{3} }=$

$=\dfrac{9\cdot\left(\dfrac{1}{9} -81\right)}{9\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right) }=\dfrac{1-729}{-6 }=\dfrac{-728}{-6 }=\dfrac{364}{3 }=121\dfrac{1}{3}$

Ответ: первый член равен 81; знаменатель равен 1/3; сумма первых шести членов равна $121\dfrac{1}{3}$