Question

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

Решить в натуральных числах уравнение:
a! + 5a + 13 = b²

Answer 1

$a! + 5a + 13 = b^2$

Предположим, что $a\geqslant 5$. Тогда, выражение $a!$ будет содержать как минимум множители 1, 2, 3, 4, 5. Заметим, что выражение $5a$ также содержит множитель 5. Следовательно, сумма $a!+5a$ в этом случае будет делиться на 5:

$(a!+5a)\,\vdots\, 5$

Число делится на 5, когда его последняя цифра 0 или 5. Значит, последняя цифра числа $a!+5a$ равна 0 или 5.

Но если последняя цифра числа $a!+5a$ равна 0 или 5, то последняя цифра числа $a!+5a+13$ равна 3 или 8. Тогда и последняя цифра числа $b^2$ должна быть равна 3 или 8.

Рассмотрим квадраты чисел от 1 до 10:

$1^2=1;\ 2^2=4;\ 3^2=9;\ 4^2=16;\ 5^2=25;$

$6^2=36;\ 7^2=49;\ 8^2=64;\ 9^2=81;\ 10^2=100$

Заметим, что при любой последней цифре исходного числа, квадрат числа не может заканчиваться на 3 или 8.

Значит, ситуация $a\geqslant 5$ не дает решений.

Остается проверить ситуацию, когда $a < 5$. Поскольку $a$ - натуральное число, то этой ситуации соответствуют всего 4 случая: а=4; а=3; а=2; а=1, эти случаи можно рассмотреть перебором.

Если $a=4$, то:

$b^2=4!+5\cdot4+13=4\cdot3\cdot2\cdot1+20+13=24+33=57$

$b=\pm\sqrt{57}$

Полученные значения $b$ не являются натуральными числами.

Если $a=3$, то:

$b^2=3!+5\cdot3+13=3\cdot2\cdot1+15+13=6+28=34$

$b=\pm\sqrt{34}$

Полученные значения $b$ не являются натуральными числами.

Если $a=2$, то:

$b^2=2!+5\cdot2+13=2\cdot1+10+13=2+23=25$

$b=\pm\sqrt{25}=\pm5$

Значение $b=-5$ не является натуральным числом.

Значение $b=5$ удовлетворяет условию задачи. Таким образом, пара чисел $a=2;\ b=5$ - решение уравнения.

Если $a=1$, то:

$b^2=1!+5\cdot1+13=1+5+13=19$

$b=\pm\sqrt{19}$

Полученные значения $b$ не являются натуральными числами.

Ответ: a=2; b=5