Question

Исследовать функцию. 100 баллов. СРОЧНО!!!

Answer 1

Ответ:

1. D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. функция четная

3. ось Оу не пересекает, ось Ох не пересекает.

4. x = 0 - вертикальная асимптота, y = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Функция возрастает на промежутке (-∞; 0)

Функция убывает на промежутке (0; +∞)

6.  функция вогнута.

Объяснение:

Исследовать функцию и построить график:

$\displaystyle y=\frac{2+x^2}{x^2}$

1. Область определения функции.

х ≠ 0

⇒ D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.

$\displaystyle y(-x)=\frac{2+(-x)^2}{(-x)^2}=\frac{2+x^2}{x^2}$

f(-x) = f(x) ⇒ функция четная (симметрична относительно Оу)

3. Пересечение с осями координат.

1) х ≠ 0 ⇒ ось Оу не пересекает.

2) числитель (2 + х²) > 0 ⇒ ось Ох не пересекает.

4. Асимптоты.

1) Вертикальная асимптота.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2+x^2}{x^2}=\infty$

⇒ x = 0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонная асимптота у = kx + b

$\displaystyle k= \lim_{x \to \infty} \frac{2+x^2}{x^2\cdot x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^3}+\frac{x^2}{x^3} }{\frac{x^3}{x^3} } =\frac{0}{1}=0$

$\displaystyle b= \lim_{x \to \infty}\left( \frac{2+x^2}{x^2}-0 \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^2}+\frac{x^2}{x^2} }{\frac{x^2}{x^2} } =\frac{1}{1}=1$

⇒ y = 1 - горизонтальная асимптота.

5. Возрастание, убывание. Точки экстремума.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$\displaystyle y'=\frac{2x\cdot x^2-(2+x^2)\cdot 2x}{x^4} =\frac{2x^3-4x-2x^3}{x^4} =\\\\=\frac{-4x}{x^4}=-\frac{4}{x^3}$

x ≠ 0

$+++(0)---$

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

Функция возрастает на промежутке (-∞; 0)

Функция убывает на промежутке (0; +∞)

y' ≠ 0 ⇒ точек экстремумов нет.

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.

$\displaystyle y''=\left(-\frac{4}{x^3}\right)'= (-4x^{-3})'=12x^{-4}=\frac{12}{x^4}$

x ≠ 0

$+++(0)+++$

• Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.

y'' > 0 ⇒ функция вогнута.

Строим график.

#SPJ1