Question

Задача Коши
y'' + 4y' + 4y = 0, y(0) = 3, y'(0) = 2
Можно пожалуйста с ходом решения

Answer 1

Ответ:

у"+4у'+4у=0

сделаем замену

у"=k² тогда у'=k и y=1

получим уравнение

k²+4k+4=0

теперь найдём корни данного уравнения

${k}^{2} + 4k + 4 = 0 \\ (k + 2 {)}^{2} = 0 \\ k _{1} = k_{2} = - 2$

тогда решение этого уравнение запишем в виде

$y = {e}^{kx} (C_{1} +C _{2}x) = {e}^{ - 2x} (C_{1} +C _{2}x)$

теперь воспользуемся условиями у(0)=3; у'(0)=2

но для начала найдём производную от "решения"

$( {e}^{ - 2x} (C_{1} +C _{2}x))' = - 2 {e}^{ - 2x} (C_{1} +C _{2}x) + {e}^{ - 2x} C_{2}$

и теперь подставим значения у(0)=3; у'(0)=2 в "решения" у' и у чтобы найти константы

у(0)=3

${e}^{ - 2 \times 0} (C_{1} +C _{2} \times 0) = 3 \\ C_{1} = 3$

у'(0)=2

$- 2 {e}^{ - 2 \times 0} (C_{1} +C _{2} \times 0) + {e}^{ - 2 \times 0} C_{2} = 2 \\ - 2C_{1} + C_{2} = 2 \\ C_{2} = 2 + 2 \times 3 = 8$

тогда решения задачи Коши запишем в виде

$y = {e}^{ - 2x} (3 + 8x)$