Question

Алгебра.....................................

Answer 1

Ответ:

1.

$\int \frac{5dx}{2 {x}^{2} + x - 4}$

очевидно что нужно выделить полный квадрат в знаменателе

${2x}^{2} + x - 4 = ( \sqrt{2} {x)}^{2} + 2 \times \sqrt{2} x \times \frac{1}{2 \sqrt{2} } + ( \frac{1}{2 \sqrt{2} } {)}^{2} - 4 - ( \frac{1}{2 \sqrt{2} } {)}^{2} = \\ = ( \sqrt{2} x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } {) }^{2} - \frac{33}{8}$

тогда

$5 \int \frac{dx}{( \sqrt{2}x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } {)}^{2} - \frac{33}{8} } = \frac{5}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{ \frac{33}{8} } } ln | \frac{ \sqrt{2} x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } - \sqrt{ \frac{33}{8} } }{ \sqrt{2}x + \frac{1}{2 \sqrt{2} } + \sqrt{ \frac{33}{8} } } | + C = \\ = \frac{5 }{ \sqrt{33}}ln | \frac{ \sqrt{2}x + \frac{1 - \sqrt{33} }{2 \sqrt{2} } }{ \sqrt{2} x + \frac{1 + \sqrt{33} }{2 \sqrt{2} } } | + C = \frac{5}{ \sqrt{33} } ln | \frac{4x + 1 - \sqrt{33} }{4x + 1 + \sqrt{33} } | + C$

2.

$\int \frac{(2x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} dx$

$\frac{2x - 1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2} \\ 2x - 1 = a(x - 2) + b(x - 1)$

теперь найдём а и b

$x = 2 \to \: b = 3 \\ x = 1 \to \: a = - 1$

остаётся найти такой интеграл

$\int( - \frac{1}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} )dx = - ln |x - 1| + 3ln |x - 2| + C = \\ = ln | \frac{(x - 2 {)}^{3} }{x - 1} | + C$