Question

1- Разложить на ряд Тейлора
ах^23+2sinx
2- Разложить на ряд Фурье
f(x)=23x^2

Answer 1

Ответ:

1. Разложение в Тейлора:

$\boldsymbol{\boxed{\displaystyle f(x) = ax^{23} + 2 \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}}}$

2. Разложение в ряд Фурье:

$\boldsymbol{\boxed{ f(x) = \dfrac{23 \pi^{2}}{3 } -92 \sum _{n=1}^{+\infty }{ \frac{(-1)^{n}\cos nx}{n^{2}} }}}$

Примечание:

Разложение синуса в ряд Маклорена:

$\boxed{{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}}$

Пошаговое объяснение:

1. Разложение в ряд Тейлора:

$f(x) = ax^{23} + 2 \sin x$

Разложение в ряд Тейлора, можно заменить разложением в частный случай ряда Тейлора, то есть в ряд Маклорена:

$\displaystyle 2 \sin x = 2 \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$, таким образом разложение функции $f(x)$ в ряд Тейлора:

$\displaystyle f(x) = ax^{23} + 2 \sin x = ax^{23} + 2 \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

Выражение $ax^{23}$ есть одночлен, который не имеет смысла раскладывать в ряд Маклорена.

2. Разложение в ряд Фурье:

$f(x) = 23x^{2}$, $f(-x) = 23(-x)^{2}= 23x^{2} =f(x)$, то есть функция $f(x) \ -$ чётная по определению, таким образом разложим данную функцию по косинусам на отрезке от (0;π) на периоде T = 2π.

Коэффициенты Фурье:

$\displaystyle a_{0} = \frac{2}{\pi } \int\limits_{0}^{\pi } {f(x)} \, dx = \frac{2}{\pi } \int\limits_{0}^{\pi } {23x^{2} } \, dx = \frac{46}{\pi } \int\limits_{0}^{\pi } {x^{2} } \, dx = \frac{46}{\pi } \cdot \frac{x^{3}}{3} = \frac{46 }{3\pi } \cdot x^{3} \bigg |_{0}^{\pi } =$

$= \dfrac{46 }{3\pi } \bigg (\pi ^{3} - 0^{3} \bigg ) = \dfrac{46 \pi ^{3}}{3\pi } = \dfrac{46 \pi^{2}}{3 }$

$\displaystyle a_{n} = \frac{2}{\pi } \int\limits_{0}^{\pi } {f(x) \cos nx} \, dx = \frac{2}{\pi } \int\limits_{0}^{\pi } {23x^{2} \cos nx} \, dx = \frac{46}{\pi } \int\limits_{0}^{\pi } {x^{2} \cos nx} \, dx =$

а)

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi } {x^{2} \cos nx} \, dx =$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$u = x^{2} \Longrightarrow du = (x^{2} )' \ dx = 2x \ dx$

$\displaystyle dv = \cos nx \ dx \Longrightarrow v = \int {\cos nx} \, dx = \frac{1}{n} \int {\cos nx} \, d(nx) = \frac{\sin nx}{n}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = \frac{ x^{2} \sin nx}{n} \bigg |_{0}^{\pi} - \int\limits^{\pi}_{0} {\frac{2x\sin nx}{n}} \, dx = \bigg ( \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} - \frac{ 0 ^{2} \sin (0 \cdot n)}{n} \bigg ) - \int\limits^{\pi}_{0} {\frac{2x\sin nx}{n}} \, dx =$

$\displaystyle = \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} - \int\limits^{\pi}_{0} {\frac{2x\sin nx}{n}} \, dx =$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$u = 2x \Longrightarrow du = (2x )' \ dx = 2 \ dx$

$\displaystyle dv = \frac{\sin nx}{n} \ dx \Longrightarrow v = \int {\frac{\sin nx}{n}} \, dx = \frac{1}{n^{2}} \int {\sin nx} \, d(nx) = -\frac{\cos nx}{n^{2}}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\displaystyle = \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} -\frac{2x\cos nx}{n^{2}} \bigg |_{0}^{\pi} + \int\limits^{\pi}_{0} {\frac{2 \cos nx}{n^{2}}} \, dx =$

$\displaystyle = \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} - \bigg (\frac{2\pi \cos \pi n}{n^{2}} - \frac{2 \cdot0\cos (0 \cdot n)}{n^{2}} \bigg ) + \frac{2 }{n^{3}}\int\limits^{\pi}_{0} {\cos nx} \, d(nx) =$

$\displaystyle = \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} - \frac{2\pi \cos \pi n}{n^{2}} + \frac{2 }{n^{3}} \cdot \sin (nx) \bigg |_{0}^{\pi} =$

$\displaystyle = \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} - \frac{2\pi \cos \pi n}{n^{2}} + \frac{2 }{n^{3}} \bigg ( \sin \pi n - \sin (0 \cdot n) \bigg ) =$

$\displaystyle = \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} - \frac{2\pi \cos \pi n}{n^{2}} + \frac{2 \sin \pi n }{n^{3}}$

Так как $\sin (\pi n ) = 0$, $\cos \pi n = (-1)^{n}$, то:

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi } {x^{2} \cos nx} \, dx = \frac{ \pi ^{2} \sin \pi n}{n} - \frac{2\pi \cos \pi n}{n^{2}} + \frac{2 \sin \pi n }{n^{3}} =$

$\displaystyle = \frac{ \pi ^{2} \cdot 0}{n} - \frac{2 \pi(-1)^{n}}{n^{2}} + \frac{2 \cdot 0 }{n^{3}} = - \frac{2 \pi (-1)^{n}}{n^{2}}$

б)

$\displaystyle a_{n} = \frac{46}{\pi } \int\limits_{0}^{\pi } {x^{2} \cos nx} \, dx = \frac{46}{\pi } \cdot \bigg (- \frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}} \bigg ) = - \frac{92(-1)^{n}}{ n^{2}}$

Разложение в ряд Фурье по косинусам:

$\displaystyle f(x) = \dfrac{a_{0}}{2} + \sum _{n=1}^{+\infty }{a_{n} \cos nx} = \dfrac{46 \pi^{2}}{3 } \cdot \frac{1}{2} + \sum _{n=1}^{+\infty }{ - \frac{92(-1)^{n}\cos nx}{n^{2}} } =$

$\displaystyle = \dfrac{23 \pi^{2}}{3 } -92 \sum _{n=1}^{+\infty }{ \frac{(-1)^{n}\cos nx}{n^{2}} }$