Question

Ребят, алгебра!!! Помогите решить уравнения с полным объяснением​

Answer 1

Ответ:

Ответ:

1) 7; 2) ∅ 3) 1.

Объяснение:

Решить уравнения:

$\displaystyle 1)\;\sqrt{x^2+15}=x+1$

$\displaystyle 2)\;\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=2$

$\displaystyle 3) \sqrt[3]{x} +\sqrt[6]{x} -2=0$

$\displaystyle 1)\;\sqrt{x^2+15}=x+1$

Рассмотрим подкоренное выражение:

х² ≥ 0; x² + 15 > 0 ⇒ левая часть положительна, тогда и правая часть положительна.

ОДЗ: х + 1 > 0 ⇒ x > -1

Возведем в квадрат обе части уравнения:

$\displaystyle x^2+15=x^2+2x+1\\\\2x = 14\;\;\;\;\;|:2\\\\x=7$

Проверим:

$\displaystyle \sqrt{49+15}=7+1\\\\\sqrt{64}=8$

Верно!

Ответ: 7.

$\displaystyle 2)\;\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=2$

Подкоренное выражение неотрицательно.

ОДЗ:

$\displaystyle \left \{ {{x+4 \geq 0} \atop {x-4 \geq 0}} \right. \;\;\;\iff\;\;\;\left \{ {{x \geq -4} \atop {x \geq 4}} \right. \;\;\;\Rightarrow \;\;\;x \geq 4$

Возведем в квадрат обе части уравнения:

$\displaystyle x+4+2\sqrt{(x+4)(x-4)}+x-4=4\\ \\2\sqrt{x^2-16}=4-2x\;\;\;\;\;|:2\\ \\\sqrt{x^2-16}=2-x$

Еще раз возведем в квадрат:

$\displaystyle x^2-16=4-4x+x^2\\\\4x=20\;\;\;\;\;|:4\\\\x = 5$

Проверим:

$\displaystyle \sqrt{5+4}+\sqrt{5-4}=2\\ \\ 3+1\neq 2$

Корень не подходит.

Ответ: ∅

$\displaystyle 3) \sqrt[3]{x} +\sqrt[6]{x} -2=0$

У нас есть корень с показателем в четной степени 6.

ОДЗ: х ≥ 0

Выполним замену переменной:

$\displaystyle \sqrt[6]{x} =t,\;t\geq 0$

$\displaystyle \sqrt[6]{x^2} +\sqrt[6]{x} -2=0\\\\t^2+t-2=0$

По теореме Виета корни равны:

$\displaystyle t_1=1;\;\;\;\;\;t_2=-2$

Так как t ≥ 0, t₂ - посторонний корень.

Выполним обратную замену:

$\displaystyle \sqrt[6]{x}=1 \\\\x=1$

Проверим:

$\displaystyle \sqrt[3]{1}+\sqrt[6]{1}-2=0\\ \\ 1+1-2=0$

Верно!

Ответ: 1.