Question

Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює 60°, проведено площину, що утворює з площиною основи кут 30°.
Знайдіть висоту конуса, якщо площа перерізу
дорівнює 4 3 см2.

Answer 1

Ответ:

Висота конуса дорівнює √3 см

Пошаговое объяснение:

Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює 60°, проведено площину, що утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть висоту конуса, якщо площа перерізу дорівнює 4√3 см².

1) Для побудови перерізу проводимо хорду основи АВ і з'єднуємо з вершиною С конуса. Так як твірні конуса СА і СВ рівні, то переріз - рівнобедрений трикутник АСВ з основою АВ.

За умовою ∠АСВ=60°, тоді:

∠CAB=∠CBA=(180°-60°):2= 60°

△ACB - рівносторонній.

2) Проведемо CD - висоту і медіану рівнобедреного трикутника ACB.

Оскільки CD⟂AB, OD - проекція CD на площину основи, то за теоремою про три перпендикуляри OD⟂AB, і тоді ∠CDO - кут між площиною перерізу і площиною основи.

За умовою ∠CDO=30°.

3) Площа перерізу за умовою дорівнює 4√3 см.

• Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту:

$S_{ACB} = \dfrac{1}{2} AB\cdot CD \\ \\ S_{ACB} = 4 \sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2} AB \times CD = 4 \sqrt{3} \\ \\ AB \times CD = 8 \sqrt{3}$

Так як CD - медіана трикутника АСВ, то:

AB=2•BD.

Розглянемо прямокутний трикутник CDB(∠D=90°).

Катет BD=CD•ctg∠CBD=CD•ctg60°, тоді знайдемо АВ.

$AB = 2 \times CD \times \dfrac{ \sqrt{3} }{3} = \dfrac{2 \sqrt{3} }{3} \times CD$

Тому:

$\dfrac{2 \sqrt{3} }{3} \times CD \times CD = 8 \sqrt{3}$

${CD}^{2} = 12$

CD=2√3 см

4) Розглянемо прямокутний трикутник АОВ COD(∠O=90°). ∠CDO=30°. CD=2√3 см.

• Катет, що лежить навпроти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи.

Тому, висота конуса дорівнює:

$SO = \dfrac{1}{2} \times CD = \dfrac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} = \bf \sqrt{3}$ см

#SPJ1