Question

Срочно!! С подробный решением задачи! ​

Answer 1

Ответ:

Модули векторов:

а) $\boldsymbol{\boxed{\bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \bigg | = 0,5a}}$

б) $\boldsymbol{\boxed{\bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \bigg | = a}}$

в) $\boldsymbol{\boxed{\bigg|\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \bigg | = \dfrac{a\sqrt{3} }{2}}}$

Объяснение:

Дано: ∠A = 30°, ∠B = 90°, AC = a

Найти: $\bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \bigg |, \bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \bigg |, \bigg|\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \bigg | \ - \ ?$

Решение:

• а)

Так как по условию угол ∠B = 90°, то определению

треугольник ΔABC - прямоугольный.

По правилу треугольника для сложения векторов:

$\bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \bigg | = \big |\overrightarrow{BC} \big|$

По определению синуса в прямоугольном треугольнике (ΔABC):

$\sin \angle A = \dfrac{\big |\overrightarrow{BC} \big|}{\big |\overrightarrow{AC} \big|} \Longrightarrow \big |\overrightarrow{BC} \big| = \big |\overrightarrow{AC} \big| \sin \angle A = a \sin 30^{\circ} = 0,5a$, таким образом:

$\bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \bigg | = \big |\overrightarrow{BC} \big| = 0,5a$

• б)

По правилу параллелограмма для сложения векторов:

Достроим треугольник ΔABC до параллелограмма таким образом, что $\bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \bigg | = \big |\overrightarrow{BO} \big|$, то есть ABCO - параллелограмм.

Так как по условию угол ∠B = 90°, то по теореме если один из углов параллелограмма равен 90°, то данный параллелограмм - прямоугольник, тогда ABCO - прямоугольник.

По свойствам прямоугольника (ABCO) его диагонали равны, тогда $AC = \big |\overrightarrow{BO} \big| = a$, таким образом $\bigg|\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \bigg | = \big |\overrightarrow{BO} \big| = AC = a$.

• в)

По свойствам векторов:

$\bigg|\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} \bigg | = \bigg|\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AC} \bigg | = \big |\overrightarrow{BA} \big|$

По определению синуса в прямоугольном треугольнике (ΔABC):

$\cos \angle A = \dfrac{\big |\overrightarrow{BA} \big|}{\big |\overrightarrow{AC} \big|} \Longrightarrow \big |\overrightarrow{BA} \big| = \big |\overrightarrow{AC} \big| \cos \angle A = a \cos 30^{\circ} = \dfrac{a\sqrt{3} }{2}$.