Question

Решите пожалуйста , и объясните как тут посчитать математическое ожидание .

Answer 1

Математическое ожидание равно сумме попарных произведений возможных значений случайной величины на вероятности, с которыми они достигаются:

$M(X)=\sum\limits_i x_ip_i$

Для определений вероятностей в этой задаче будем использовать геометрическую вероятность. Геометрическая вероятность определяется как отношение площади, на которой принимается требуемое значение, к общей рассматриваемой площади:

$p_i=\dfrac{S_i}{S}$

Общая рассматриваемая площадь в данной задаче - круг радиусом $R_{500}$ (в качестве индекса указывается длина в метрах).

Таким образом общая площадь:

$S=\pi R_{500}^2$

Рассмотрим случай, когда человек стоит на расстоянии от 50 до 150 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение $x_3=3$. Такой участок представляет собой кольцо, ограниченное окружностями радиусами $R_{50}$ и $R_{150}$. Площадь кольца:

$S_3=\pi R_{150}^2-\pi R_{50}^2$

Рассмотрим случай, когда человек стоит на расстоянии от 150 до 300 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение $x_2=2$. Такой участок представляет собой кольцо, ограниченное окружностями радиусами $R_{150}$ и $R_{300}$. Площадь кольца:

$S_2=\pi R_{300}^2-\pi R_{150}^2$

Рассмотрим случай, когда человек стоит на расстоянии от 300 до 500 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение $x_1=1$. Такой участок представляет собой кольцо, ограниченное окружностями радиусами $R_{300}$ и $R_{500}$. Площадь кольца:

$S_1=\pi R_{500}^2-\pi R_{300}^2$

Последний случай - человек стоит на расстоянии до 50 метров от вышки. Случайная величина в этом случае принимает значение $x_0=0$. Такой участок представляет собой круг, ограниченный окружностью радиусом $R_{50}$. Площадь круга:

$S_0=\pi R_{50}^2$

Составим выражение для математического ожидания:

$M(X)=x_0p_0+x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3$

$M(X)=0\cdot\dfrac{S_0}{S} +1\cdot\dfrac{S_1}{S} +2\cdot\dfrac{S_2}{S} +3\cdot\dfrac{S_3}{S}$

$M(X)=\dfrac{S_1+2S_2 +3S_3}{S}$

Подставим значение площадей:

$M(X)=\dfrac{\pi R_{500}^2-\pi R_{300}^2+2(\pi R_{300}^2-\pi R_{150}^2) +3(\pi R_{150}^2-\pi R_{50}^2)}{\pi R_{500}^2}$

$M(X)=\dfrac{R_{500}^2-R_{300}^2+2(R_{300}^2-R_{150}^2) +3(R_{150}^2-R_{50}^2)}{R_{500}^2}$

$M(X)=\dfrac{R_{500}^2-R_{300}^2+2R_{300}^2-2R_{150}^2 +3R_{150}^2-3R_{50}^2}{R_{500}^2}$

$M(X)=\dfrac{R_{500}^2+R_{300}^2+R_{150}^2-3R_{50}^2}{R_{500}^2}$

$M(X)=\dfrac{500^2+300^2+150^2-3\cdot50^2}{500^2}$

$M(X)=\dfrac{50^2+30^2+15^2-3\cdot5^2}{50^2}$

$M(X)=\dfrac{2500+900+225-3\cdot25}{2500}$

$M(X)=\dfrac{3400+225-75}{2500}=\dfrac{3550}{2500}=\dfrac{71}{50} =1.42$

Ответ: 1.42