Question

здравствуйте Помогите пожалуйста решить задачу ​

Answer 1

Ответ:

Доказано требуемое.

Объяснение:

1) Если предположить, что нам задано стандартное скалярное произведение по формуле произведение длин на косинус угла между ними (в пространстве $V^2$ или $V^3$ векторов на плоскости или в трехмерном пространстве), то утверждение следует из того, что модуль косинуса угла между векторами равен 1 тогда и только тогда, когда угол равен нулю (векторы сонаправлены) или $\pi$ (противоположно направлены).

2) Если же под скалярным произведением понимается симметричная положительно определенная билинейная форма, заданная на линейном пространстве над полем действительных чисел (и тем самым превращающая линейное пространство в евклидово пространство), надо немного поработать.

Первый случай - если хотя бы один из векторов нулевой. Тогда неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство 0=0. При этом, если $x=\bar 0,$ мы имеем равенство $x=0y,$ если $y=\bar 0,$ то $y=0x.$

Второй случай - когда оба вектора ненулевые. Если $x=\alpha y$, то

$|(x,y)|=|(\alpha y,y)|=|\alpha(y,y)|=|\alpha|\cdot |(y,y)|=|\alpha|\cdot ||y||^2=(|\alpha|\cdot ||y||)\cdot ||y||=$

$=||\alpha y||\cdot ||y||=||x||\cdot ||y||.$

Если же $x\not= \alpha y$ ни при каком $\alpha,$ то $x-\alpha y\not= \bar 0,\Rightarrow (x-\alpha y,x-\alpha y) > 0$ при всех $\alpha,$ поэтому квадратный трехчлен относительно $\alpha$

                                 $||y||^2\alpha^2-2(x,y)\alpha+||x||^2 > 0$

при всех $\alpha,$ что равносильно отрицательности дискриминанта:

        $D=4((x,y)^2-||x||^2\cdot ||y||^2 < 0\Leftrightarrow (x,y) < ||x||\cdot ||y||.$

Вывод: равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы (то есть или

$x=\alpha y,$ или $y=\alpha x$). Формулировка в условии задания не вполне корректна, впрочем, в большинстве книг пишут именно так.

3) Над полем комплексных чисел утверждение также справедливо, но скорее всего автору задания требуется поле действительных чисел, поэтому этот случай рассматривать не будем.