Question

Супутник обертаються навколо Землі по орбіті з радіусом r

- 300 км і деякою швидкістю. Якщо такий самий супутник вивести на колову

орбіту з тією ж швидкістю навколо планети, маса якого в 3 рази більша маси

Землі, то яким буде радіус цієї орбіти?

Answer 1

Ответ:

Если $R_{Z} \neq R_{P}$, то радиус круговой орбиты планеты найти невозможно. Если предположить, что $R_{Z} = R_{P}$, то $h_{2} =$ 13 700 км

Примечание:

Считаем, что радиус Земли равен 6400 км и Земля является идеальным шаром

Объяснение:

Дано:

$R_{Z} =$ 6400 км

$h_{1} =$ 300 км

$M_{P} = 3M_{Z}$

Найти:

$h_{2} \ - \ ?$

-----------------------------------

Решение:

Центростремительное ускорение для спутника движущего вокруг планеты:

$a = \dfrac{v^{2}}{(R + h)}$

По закону всемирного тяготения для спутника и планеты:

$F = \dfrac{mGM}{(R + h)^{2}}$

По второму закону Ньютона:

$F = ma$

$\dfrac{mGM}{(R + h)^{2}} = ma|:m$

$\dfrac{GM}{(R + h)^{2}} = a$

$\dfrac{GM}{(R + h)^{2}} = \dfrac{v^{2}}{(R + h)} \bigg | \cdot (R + h)$

$v^{2} = \dfrac{GM}{R + h} \Longrightarrow \boxed{v = \sqrt{\dfrac{GM}{R + h}} }$ - скорость спутника вокруг планеты на некой высоте над ней; данная формула может быть обобщена для произвольной планеты

Скорость спутника вокруг Земли:

$v = \sqrt{\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}}}$

Скорость спутника вокруг некой планеты масса которой в три раза больше массы Земли:

$v = \sqrt{\dfrac{GM_{P}}{R_{P} + h_{2}}} = \sqrt{\dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}}}$

Так как спутник имеют одинаковую скорость, то:

$\sqrt{\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}}} = \sqrt{\dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}}}$

$\Bigg (\sqrt{\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}}} \Bigg)^{2} = \Bigg ( \sqrt{\dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}}} \Bigg)^{2}$

$\dfrac{GM_{Z}}{R_{Z} + h_{1}} = \dfrac{3GM_{Z}}{R_{P} + h_{2}} \bigg | \cdot \dfrac{1}{GM_{Z}}$

$\dfrac{1}{R_{Z} + h_{1}} = \dfrac{3}{R_{P} + h_{2}} \Longleftrightarrow R_{P} + h_{2} = 3(R_{Z} + h_{1})$

Если предположить, что радиус планеты такой же как и у Земли, то

$R_{Z} = R_{P}$, тогда:

$R_{Z} + h_{2} = 3(R_{Z} + h_{1})$

$R_{Z} + h_{2} = 3R_{Z} + 3h_{1}$

$h_{2} = 3R_{Z} - R_{Z} + 3h_{1} = 2R_{Z} + 3h_{1}$

Расчеты:

$h_{2} =$ 2 · 6400 км + 3 · 300 км = 13 700 км

Ответ: Если $R_{Z} \neq R_{P}$, то радиус круговой орбиты планеты найти невозможно. Если предположить, что $R_{Z} = R_{P}$, то $h_{2} =$ 13 700 км.

#SPJ1